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磁通量與法拉第定律

把定性的故事化為感應的精確方程式——先精確定義磁通量,再用法拉第定律從基本原理算出感應電動勢。

精確定義磁通量

取一個面積為 A 的平面線圈,置於均勻磁場 B 中。若磁場直穿線圈(垂直於其平面),則磁通量就是 \Phi_B = BA。若磁場是傾斜的,就只有真正穿過線圈的那部分磁場算數。我們用磁場與線圈法線(從其面上直直伸出的那條線)之間的夾角 \theta 來衡量這個傾斜。

\Phi_B = B\,A\cos\theta

磁通量。單位為韋伯(Wb = T·m²)。只有垂直於線圈面積的那個磁場分量才有貢獻。

法拉第定律:變化率

現在來看定律本身。法拉第感應定律指出,感應電動勢等於磁通量變化的速率。若這個線圈其實是 N 匝繞在一起,每一匝都感受到相同的變化磁通量,各匝的電動勢相加,因此我們乘上 N

\varepsilon = -N\,\frac{d\Phi_B}{dt}

法拉第定律。電動勢(單位伏特)等於 N 乘上磁通量的變化率。負號記錄了方向——即下一篇的楞次定律。

電動勢 \varepsilon 是一種以伏特計量的推力——與電池提供的推力同類,只是這裡由變化的磁性、而非化學反應所產生。要算效應的大小,我們用 |\varepsilon| = N\,|\Delta\Phi_B / \Delta t|;至於正負號(電流往哪個方向流)則留到下一篇另行釐清。

磁通量究竟在數什麼

有兩個微妙之處值得留意。第一,磁通量只在乎穿過線圈的磁場;躺在線圈平面內的磁場毫無貢獻。第二,真正的定律用的是瞬時導數 d\Phi_B/dt;上面用的 \Delta\Phi/\Delta t 只是這段區間的平均。當磁場如範例中那樣平滑而穩定地變化時,兩者恰好一致。