重力位能——誠實的公式
在地面附近，我們樂於把重力位能寫成 U = mgh。但這只在 g 大致不變時成立，也就是高度相對於整個行星很小的時候。一旦走遠——到衛星、月亮、其他行星——g 本身會隨距離減弱，這時就需要真正的重力位能。
相距 r 的兩個質量的重力位能，並約定當兩者無限遠時位能為零。
為什麼有負號？我們約定無限遠處 U = 0，那裡兩質量彼此毫無感覺。把它們拉近時，重力做正功，能量因而降到零以下。所以負的總能量就代表兩質量被束縛在一起——你必須注入能量才能把它們分開。記住這一點；它是脫離的關鍵。
軌道的總能量
繞行天體帶有動能 K = \tfrac{1}{2}mv^{2} 與位能 U = -GMm/r。把它們相加。用第三篇的圓形軌道速度 v = \sqrt{GM/r}，動能為 K = GMm/2r，總能量算出來乾淨俐落且為負：
圓形軌道的總力學能。它是負的——軌道受束縛。（對一般橢圓，把 r 換成半長軸 a。）
範例：脫離速度
要剛好脫離一顆行星，發射時的動能必須恰好足以爬完位能山、一路到無限遠——也就是令總能量為零。從半徑 r 出發：
令動能等於位能井的深度並求解。注意 v_脫離 = √2 × 同半徑的圓形軌道速度。
對地球表面，GM \approx 3.99\times 10^{14}\ \mathrm{m^{3}/s^{2}}、r = R_\oplus \approx 6.37\times 10^{6}\ \mathrm{m}，代入得 v_{\text{esc}} \approx 1.12\times 10^{4}\ \mathrm{m/s}——約 11.2 公里/秒，即每小時約 4 萬公里。這就是地球的脫離速度。
潮汐：會拉扯的重力
潮汐（拉伸）力按 1/r³ 縮放——比重力本身的 1/r² 更陡峭。此處 Δr 是被拉伸物體的尺度，r 是它到質量 M 的距離。
那個 1/r^{3} 的依賴解開了一個謎：太陽的質量是月亮的兩千七百萬倍，潮汐卻只有約一半強，因為它遠得多，距離的立方壓過了額外的質量。當太陽與月亮連成一線時（新月與滿月），兩者的隆起相加，形成大的大潮；當它們成直角時（上下弦月），部分抵消，成為溫和的小潮。潮汐力還會把衛星撕裂、加熱木衛一（Io）的火山表面，並把月亮鎖住，使它永遠以同一面朝向我們。
通往何方：牛頓之外
牛頓重力精確得驚人——它能把太空船導向遙遠行星，準到以秒計。但它不是最終答案。水星的軌道有極微小的進動，是牛頓定律無法完全解釋的。1915 年，愛因斯坦的廣義相對論把重力重新詮釋為：它不是跨越空間的力，而是時空本身的彎曲：質量告訴時空如何彎曲，彎曲的時空又告訴物質如何運動。
廣義相對論精準命中水星進動、使星光偏折、並讓強重力中的時鐘變慢。它最大膽的預言——時空中的漣漪，稱為重力波，由碰撞的黑洞釋放——終於在 2015 年被偵測到，距愛因斯坦寫下它已整整一個世紀。這正是本學習路徑交棒之處：交給相對論、天文物理學與黑洞研究，讓你剛剛掌握的那條溫和的平方反比定律，成為通往宇宙中最極端物理的大門。