三支箭頭做出一個盒子
你一路爬完整階，才抵達這個角落。你學過，從同一個點伸出的兩支箭頭，張出一個平行四邊形，而外積 u x v 同時遞給你它的面積（即長度 |u x v|）以及一個垂直方向。現在從同一個角落再添第三支箭頭 w。這三支以各種順序首尾相接，掃出一個斜歪的盒子——一個平行六面體，平行四邊形在三維裡的表親。六個平的面，全是平行四邊形，相對的兩面一模一樣。為這一階加冕的問題顯而易見：那個盒子的體積是多少？
思考任何體積的誠實辦法是底乘以高。挑兩支箭頭，比方說 u 與 v，當作盒子的地板；那地板是個平行四邊形，而你早已知道它的面積是 |u x v|。外積甚至把地板的法線方向遞給你，垂直於那地板。盒子的高，則是第三支箭頭 w 筆直地離開地板伸了多遠——不是 w 自己的長度，而只是 w 中指向地板法線的那一部分。盒子的斜歪不能算數；只有離地板的上升才算。「w 有多少指向地板的法線」這一句話，正是點積被打造出來要做的工作。
點積遇上外積：純量三重積
把兩塊拼起來。地板的面積與法線同住在一個向量 u x v 之中：它的長度是地板面積，它的方向是地板的法線。高——也就是 w 沿那法線的伸展——由點積 w . (u x v) 讀出，因為和一個向量做點積，量的正是 w 有多少躺在它身上。底乘高便得體積，而令人驚奇的是，整個計算坍縮成單一一個式子。這個數 w . (u x v)，就是純量三重積。一個點、一個叉、三個向量，掉出來的，是它們那個盒子的一個數——體積。
當你把「叉再點」按分量硬算出來，一個乾淨的樣式掉了出來。取 u = (u1, u2, u3)、v = (v1, v2, v3)、w = (w1, w2, w3)，純量三重積就是以這三個向量為各列的 3 乘 3 行列式。你不需要行列式的理論就能用它——底下那小小的展開不過是記帳——但它值得一看，因為行列式的觀點一眼就解釋了三重積的每一條性質。對調兩列會翻轉它的正負號；重複的一列使它為零；把一列縮放就把答案縮放。這每一條代數事實，都即將變成一條幾何事實。
| u1 u2 u3 |
w . (u x v) = | v1 v2 v3 |
| w1 w2 w3 |
= u1 (v2 w3 - v3 w2) - u2 (v1 w3 - v3 w1) + u3 (v1 w2 - v2 w1)
Volume of the box = | w . (u x v) | (absolute value)
一個算過的盒子，以及為何正負號重要
取沿三軸的三個單位步伐，u = (1, 0, 0)、v = (0, 1, 0)、w = (0, 0, 1)。它們的盒子是普通的單位立方體，而單位矩陣的行列式是 1——體積 1，正如理應如此。現在把蓋子傾斜：保留 u 與 v，但把 w 歪成 w = (1, 1, 1)。地板面積仍是 1，三重積也仍是 1，因為體積是底乘以垂直的高，而把頂上的箭頭歪向一邊，並不改變它離地板升了多高。斜歪的盒子與直立的立方體體積相同——這正是卡瓦列里原理用向量語言在說話：把一個立體沿側向剪歪，它的體積守恆。
現在來到標題暗示的微妙處。三重積可以算出負的。體積本身絕不為負，這正是為什麼盒子的體積是絕對值 |w . (u x v)|。那麼正負號在告訴你什麼？它記錄了定向——三支箭頭的左右手性。若 u、v、w 構成右手系（用右手從 u 捲向 v，拇指指的就是 w 的方向），三重積為正；若它們是左手系，則為負。正負號不是要丟掉的雜訊；它是關於這三人組旋扭方向的真實資訊，也正是為什麼對調其中兩個向量會翻轉正負號（你翻轉了左右手性）。
體積為零意味著被壓扁：共面檢驗
這是讓三重積值回票價的性質。一個盒子的體積恰好為零，當它被壓得完全扁平——當第三支箭頭 w 正躺在 u 與 v 所張的地板平面之中，於是盒子全然沒有高。用符號說：w . (u x v) = 0 若且唯若這三個向量共面。於是三重積就是一行的共面檢驗：把三個向量疊起來、取行列式，若為零，它們便全躺在一個過原點的平面裡；若不為零，它們便真正撐滿了三維。
為什麼這和「行列式有重複的列就為零」是同一回事？因為若 w 能由 u 與 v 搭建出來（這正是「躺在它們的平面裡」之意），那麼行列式最底下那一列，不過是上面兩列調配出的配方，而任何這樣的行列式都坍縮為零。幾何——沒有高、沒有體積——與代數——相依的列、為零的行列式——是同一件事的兩個面。這是個你日常會伸手去拿的工具，用來問：「這三個方向真的逃進空間了嗎，還是偷偷卡在同一個平面裡？」
做一個檢驗。u = (1, 2, 1)、v = (2, 1, 0)、w = (3, 3, 1) 共面嗎？第三支箭頭可疑地接近 u + v = (3, 3, 1)——而它恰恰就是那個。所以 w 由 u 與 v 搭出，盒子是扁的，三重積必為零。算一算，你確實得到 0，確認三者全躺在一個過原點的平面裡。不必動筆、不必猜——只要疊起來、展開，讀那單一一個數。
從盒子到每一種體積
平行六面體是母圖形；你在前一階遇到的幾乎每一個立體體積，都是它的一塊切片。長方體不過是 u、v、w 兩兩垂直的特例，而三重積便化約為長乘寬乘高——一個小孩都懂的公式。把斜歪的盒子沿一個對角平面切成兩半，你得到一個三角柱，於是柱的體積是三重積量值的一半。連結雙向流動：抽象的三重積回收了那個樸實的盒子公式，而那些樸實的公式全是這一個式子的影子。
連四面體也屈服。四面體某一頂點伸出的三支箭頭張出一個盒子；四面體是那盒子的角塊，恰好填滿它的六分之一。於是四面體的體積是三重積的量值除以 6——在座標裡通往錐體積最乾淨的一條路。想求頂點已知的四面體體積？從選定的一個頂點用頭減尾做出三支邊向量，取它們的三重積、除以 6，就完成了。不需底面積、不需找高、不需三角函數。
- 從一個共同的角落取出三支邊向量——對於點，就用頭減尾在分量上搭出 u、v、w。
- 計算純量三重積 w . (u x v)——最可靠的方式是把三個向量當作各列、做 3 乘 3 行列式。
- 若它為零，三者共面——盒子是扁的、沒有體積；到此為止，你已有答案。
- 否則平行六面體的體積就是它的絕對值；柱取一半、四面體除以 6，並把正負號讀作定向。
退一步，看看這一階建起了什麼。向量把一支箭頭化成一串數字；點積把夾角化成一個數；外積把面積與一個垂直方向化成一個向量；而現在三重積把兩者疊在一起，把體積、扁平與左右手性化成單一一個數。從一支你能相加的卑微箭頭，你已爬上一件量度整個房間的工具。這便是向量整個承諾的兌現——也是前方微分幾何各階的發射台，在那裡，這同樣的幾個積，施用在沿曲線、跨曲面不斷變動的箭頭上，便成了曲率、面積，以及空間本身的形狀。