圖形的對稱群

從搬動一切，到固定一個圖形

前三篇導讀打造了一整箱平面運動的工具。你認識了平移、旋轉與翻轉；你學到把翻轉與平移複合會得到滑移反射；你也看見了那句重點：平面的每一個等距變換恰好屬於四類之一——平移、旋轉、反射、滑移反射——這就是平面等距變換的分類。那是一句關於運動本身的陳述，提問時畫面裡沒有任何圖形。現在我們把同一套機器對準單一個形狀，問一個更尖銳的問題。

挑一個圖形——比方說一個擺在平面上的正方形。多數等距變換會把它搬到別處：往右滑三個單位，它顯然就不在原處了。但有幾個特別的運動，會把正方形抬起再放下，使它佔據完全相同的那一塊平面，邊對邊、角落在角上。繞中心的四分之一轉就做得到，沿對角線的翻轉也做得到。我們把這樣的運動稱為這個圖形的一個對稱：一個把圖形映到自身的等距變換。圖形的頂點也許被重新洗牌，但作為一個點集，它原封不動。

對稱為何構成一個群

這是第一個驚喜，也正是這門主題能有乾淨理論的全部緣由。一個圖形的對稱絕不是一堆鬆散、無形的東西——它們以鐵一般的邏輯彼此契合。做一個對稱，再做另一個，圖形連續兩次回到自身，於是合起來的運動又是一個對稱。每個對稱都能被還原，而它的還原也是一個對稱。而什麼都不做——恆等變換——理所當然是一個對稱。這三件事說明：對稱在複合下封閉、在反元素下封閉、並含有恆等元——這恰好就是群的定義。

於是我們為每個圖形繫上它的對稱群：所有把它映到自身的等距變換所成的集合，運算是複合。從稍早關於變換群的梯級，你已經知道等距變換的複合具結合律——「先滑再取結果」無論你怎麼加括號都一樣——所以群的最後一條公理免費奉送。這就是為什麼變換群的觀點值得建立：對稱群不過是變換群，收窄到那些尊重某個選定圖形的運動。圖形挑出了它自己的群，而群記住了你能對圖形做的每一件剛體之事。

有一件安靜卻重要的事，把有界圖形的一切都釘死——所謂有界，就是你能用某個大圓把它圈在裡面。這樣的圖形不可能有任何平移或滑移反射作為對稱，因為這兩者任一都會把圖形朝某個方向永久推開，而有界的形狀無處可去。於是只有旋轉與反射能存活為可能的對稱，而且更進一步，它們每一個都必須固定圖形的中心點。正是這一條限制，使得有界圖形的答案如此簡短。

兩個家族：循環之輪與二面體之鏡

現在我們能精確說出什麼是可能的。想像一個圖形只有旋轉對稱、沒有鏡子——小孩的紙風車，或三條彎臂全朝同一方向捲曲的三曲腿圖。它的旋轉構成一個輪：若管用的最小轉角是 360/n 度，那麼把這個角轉 0、1、2、一直到 n-1 次，就給出 n 個相異的對稱，而第 n 次轉正好繞回整圈起點。這 n 個旋轉就是循環群，記作 C_n。具 C_4 對稱的圖形每轉四分之一圈就看起來一樣，但任何翻轉都會改變它——紙風車的臂在鏡中會逆轉它們的旋向。

現在加上鏡子。一個具備正多邊形完整對稱的圖形——一個正 n 邊形、或一片雪花、或一個樸素的正方形——既有那 n 個旋轉，又有 n 條反射軸。對正方形而言，那些軸是兩條對角線，以及兩條穿過對邊中點的線：總共四面鏡子，與它的四個旋轉相配。合起來是 2n 個對稱，它們構成二面體群 D_n。所以正方形的對稱群是 D_4，有八個元素；正三角形是 D_3，有六個。這兩個家族窮盡了每一個有界圖形：它的對稱群若只有旋轉就是 C_n，若連鏡子也有就是 D_n。再無其他。

Bounded figure -> symmetry group is C_n or D_n

  C_n  (cyclic):     n rotations, NO mirrors        | C_n | = n
  D_n  (dihedral):   n rotations + n reflections     | D_n | = 2n

  pinwheel (4 arms)  -> C_4   (4 elements)
  square             -> D_4   (8 elements)
  equilateral tri    -> D_3   (6 elements)
  the letter  S      -> C_2   (180-deg turn only)
  the letter  A      -> D_1   (one mirror only)
  scalene triangle   -> C_1   (identity only)

李奧納多定理：任何有界平面圖形的對稱群，不是循環的（C_n，只有旋轉），就是二面體的（D_n，旋轉加上同樣多的鏡子）。

讀出一個圖形的群，以及鏡子為何成對等數出現

找出一個給定圖形的群，是一道簡短而誠實的程序，而字母表是絕佳的練習集。大寫字母 S 完全沒有鏡射線——試著翻它，弧線就會走錯方向——但繞中心的半轉能讓它完美落回自身，所以它的群是 C_2。大寫 A 有單一條鉛直鏡，沒有非平凡的旋轉，給出 D_1，一個只有兩個元素的群（恆等與那一個翻轉）。大寫 H 既有鉛直鏡又有水平鏡，以及它們的複合所迫出的 180 度轉，所以它的群是 D_2，有四個元素。一個普通的不等邊三角形除了恆等之外沒有對稱：它的群是 C_1，平凡群。

找出中心。對有界圖形，每個對稱都固定同一個共有的點；在尋找任何運動之前，先定出它（對多邊形而言，就是其平衡點）。
找出管用的最小轉角。繞中心旋轉，直到圖形第一次落回自身；若那個角是 360/n 度，你就有 n 個旋轉，底下藏著一個 C_n。
搜尋任一條鏡。檢驗穿過中心的各條線，找一個能把圖形映到自身的反射；你只需找到一條即可。
判定家族。完全沒有鏡子，群就是 C_n；只要有一條鏡，就自動迫出 n 條，群是 D_n，有 2n 個元素。

最後一步藏著一個值得停下來品味的小奇蹟：為何一條鏡會恰好迫出 n 條，而不是某個介於中間的奇怪數目？因為反射與旋轉複合後本身又是一個反射——這由你稍早證過的分類保證。拿你那一條鏡，依序與群中的 n 個旋轉各複合一次；群的封閉性保證這 n 個結果都是對稱，而每一個都是沿一條全新的軸的反射。所以一旦存在單一條鏡，那 n 個旋轉就恰好孵出 n 條鏡——不多不少。這正是 D_n 的旋轉與反射總是等數的結構性緣由，而替你做這筆帳的，是群的公理。

誠實的界限，以及通往圖樣的門

值得把這個乾淨的分類究竟主張什麼、又不主張什麼說清楚。它對有界圖形完全正確——那些你能裝進一個圓裡的單一形狀——而功勞通常歸給李奧納多·達文西，他在規劃那些能環繞中央教堂、又不破壞其平衡的小禮拜堂與壁龕時，編目了這些對稱型態。但這條定理完全倚賴有界性。圖形一旦奔向無窮——一條重複腳印的帶子、一片無盡的鋪磚地板——平移就重新登場，而它們正是有界圖形所禁止的那種對稱。

而一旦容許平移，那溫和的兩家族圖像就炸裂成更豐富的東西。沿單一方向重複的圖樣——牆頂的一道飾帶——其對稱群含有一個最小的平移，而結果是：無論藝術家弄得多繁複，恰好只有七種這樣的飾帶群。在兩個獨立方向上重複而鋪滿整個平面的圖樣——壁紙、鋪磚地板、蜂巢——令人驚訝地，恰好只有十七種可能的壁紙群。這些數目不是鬆散的觀察；它們是定理，靠著把這同一個群的想法推得更用力來證明。

所以這一篇導讀是本梯級的樞紐。我們身後，是四種運動以及「再無其他」的證明；我們前方，是那些相同的運動組裝成七種飾帶與十七種壁紙。你剛學到的有界故事——C_n 與 D_n，一輪及其鏡子——正是無界故事的種子，而平移就是那唯一的新成分，把有限的群變成無限、重複的群。把群放在心上，而不只是那幅圖：它正是那個讓我們能去數那些單憑肉眼永遠分不清的圖樣的對象。