等腰三角形與各種平分線

裡面有一面鏡子的三角形

依照三角形依邊長的分類，等腰三角形 就是至少有兩邊相等的三角形。把這兩邊叫做腰，第三邊叫做底。大家畫出來的圖都像一頂帳篷：兩條等長的斜腰在頂端靠在一起，底邊平鋪在下方。盯著這頂帳篷看一會兒，你會感覺到左半邊和右半邊是一樣的——沿著正中央那條鉛直線把紙對折，一條腰會恰好落在另一條腰上。

這種對折的感覺是真的，而它就是這整篇的全部秘密。底角——坐在底邊兩端的那兩個角——相等，而頂端的頂角則跨在折線上。其餘的一切，只是用上一篇的全等判別法，把這個對折變成一個老實的證明，好讓我們對那些細細長長的帳篷也一樣相信，而不是只相信我們愛畫的那種胖胖的。

證明底角相等

取三角形 ABC，兩腰相等，|AB| = |AC|，所以 A 是頂點、BC 是底邊。我們主張兩個底角相等：m(angle ABC) = m(angle ACB)。這個巧妙的招數據說出自帕普斯：拿這個三角形和它自己比——把它折到自己的鏡像上，注意到兩半其實是全等的。

先把兩腰給的東西列出來。腰 |AB| 等於腰 |AC|——這是一對相等的邊。而 |AC| 又等於 |AB|——把這兩條腰反過來讀，就得到第二對。
再加上夾在中間的角。A 處的頂角是共用的：不論你把三角形叫 ABC 還是它的鏡像 ACB，m(angle BAC) 都是同一個角。
用 SAS 把三角形 ABC 對到三角形 ACB：邊 AB 對邊 AC、頂角對它自己、邊 AC 對邊 AB。這兩個三角形——其實是同一個三角形和它的翻面相比——是全等的。
用 CPCTC 讀出對應角。ABC 中 B 處的角對應 ACB 中 C 處的角，所以 m(angle ABC) = m(angle ACB)。底角相等。

這就是等腰三角形定理，通常說成：若三角形有兩邊相等，則這兩邊的對角相等。請注意對這個字——B 處的角在腰 AC 的對面，C 處的角在腰 AB 的對面。相等的邊，逼出相等的對角。引擎始終是那個「對折再比較」的論證；CPCTC 只是把成果兌現出來的方式。

把它倒著跑——以及為什麼這很重要

一個定理和它的逆敘述是兩個不同的主張，其中一個為真並不會讓另一個自動為真——這個警告，在你最早把條件敘述和它的逆敘述分清楚時就遇過。所以我們必須分開來問：如果底角相等，腰就一定相等嗎？這裡的答案是肯定的，而且值得證明，而不是直接假定。

假設在三角形 ABC 中底角相等，m(angle ABC) = m(angle ACB)。再一次把三角形 ABC 和它的翻面 ACB 相比，這回用角邊角：B 處的角等於 C 處的角、底邊 BC 等於它自己（CB）、C 處的角等於 B 處的角。由 ASA，三角形與它的鏡像全等，CPCTC 現在交給我們 |AB| = |AC|。兩腰相等，所以這個三角形確實是等腰的。這是等腰三角形定理的逆敘述，而一句乾淨的口號把兩個方向都概括了：在任何三角形裡，相等的邊與相等的對角，總是結伴同行。

四條偷偷重合的線

回到那個對折。在一般的三角形裡，你可以從頂點 A 畫出四條不同的特殊線：角平分線（把角 BAC 切成兩半）、中線（連到 BC 的中點）、高（垂直落到 BC）、以及 BC 的垂直平分線。在一個歪斜的三角形裡，這是四條真正不同的線——這份多樣性正是三角形的塞瓦線所研究的對象。但在等腰三角形裡，從頂點畫出的這四條，全部塌縮成同一條折線。

為什麼？把 A 處的頂角平分，讓平分線交底邊於點 M。則三角形 ABM 與三角形 ACM 共用邊 AM、有相等的腰 |AB| = |AC|、以及相等的頂角一半 m(angle BAM) = m(angle CAM)——這又是 SAS，所以這兩個小三角形全等。CPCTC 現在一口氣倒出一大堆推論。

             A
            /|\
           / | \        |AB| = |AC|   (isosceles)
          /  |  \       angle BAM = angle CAM   (we bisected)
         /   |   \      AM = AM   (shared)
        /    |    \       => triangle ABM = triangle ACM  (SAS)
       B-----M-----C

  CPCTC then gives, all at once:
     |BM| = |CM|              (so AM is the MEDIAN)
     angle AMB = angle AMC, and they pair to 180,
        so each is 90        (so AM is the ALTITUDE, AM _|_ BC)
     M is the midpoint and AM _|_ BC
        (so AM is the PERPENDICULAR BISECTOR of BC)

從等腰三角形的頂點出發，角平分線、中線、高、垂直平分線是同一條線。

讀一下這張草圖：|BM| = |CM| 讓 AM 成為中線；M 處的兩個角相等又構成線性對，所以各是 90，使 AM 成為高；又因為 M 是中點且 AM 垂直於 BC，AM 就是底邊的垂直平分線。一條線，四份工作。這就是為什麼那個對折感覺如此徹底——等腰三角形的對稱軸，同時在做這每一件事。

把平分線看成軌跡：靠自身條件取得位置的點集

這兩條平分線值得更深入看一眼，因為每一條最好都不要理解成「你畫出來的一條線」，而要理解成一條軌跡——恰好滿足某個條件的所有點所成的完整集合，不多也不少。線段 BC 的垂直平分線是「與 B、C 等距的所有點」所成的集合：一點 P 在其上，恰好當 |PB| = |PC|。證明只需一次快速的全等。若 P 落在過中點 M 的垂直平分線上，則三角形 PMB 與 PMC 有 |MB| = |MC|、共用 PM、且在 M 處都是直角，所以由 SAS 全等，得 |PB| = |PC|。反過來，任何滿足 |PB| = |PC| 的 P，本身就是等腰三角形 PBC 的頂點，依前一節，它的折線正是那條垂直平分線——所以 P 在其上。

角平分線也有它自己的對偶描述：一點落在某角的平分線上，恰好當它與這個角的兩邊等距（距離以垂直於各邊的方式量）。想像你站在兩面牆夾成的楔形裡；走那條讓你與兩面牆始終保持相同距離的路徑，你描出的就是角平分線。這兩條軌跡都回答了一個深刻又實用的問題——那個公平的點在哪裡？——而兩個證明，再一次，都是兩個喬裝過的全等直角三角形。

誠實的邊界與一個常見陷阱

兩個提醒，因為只有溫暖而沒有誠實，什麼也教不會。第一，四線重合的奇蹟只發生在從頂點畫出的那條線——也就是兩條等腰之間的那個頂點。若你從某個底角頂點畫平分線，它會分裂回平常那四條各自分離的塞瓦線，那裡沒有任何特別的事發生。第二，逆敘述確實需要它自己的證明。把它當作理所當然揮揮手放過很誘人，但「角相等推出邊相等」和「邊相等推出角相等」是兩個分開的邏輯主張，而把逆敘述當作自動成立，是初學寫證明時最常見的錯誤之一。

附近甚至潛伏著一個著名的假證明。有個經典習題宣稱能證出每一個三角形都是等腰的，做法是畫一條角平分線和一條垂直平分線，再追全等三角形。破綻在於那張圖偷偷假定某個點落在三角形內部，而它其實落在外部——圖騙了人，而代數乖乖跟著錯誤的圖走。這個教訓和全等一路低聲叮嚀的一樣：一張有說服力的圖不是證明，而一個證明必須連你根本懶得畫的那些圖也都撐得住。