「全等」究竟主張什麼
兩個三角形全等，意思是你能把其中一個拿起來、滑動、旋轉，必要時翻面，使它恰好疊在另一個上面——每個頂點對著頂點，每條邊對著邊。一個三角形有六個元素：三邊與三角。說三角形 ABC 與三角形 DEF 是全等三角形，就是一口氣主張六項對應：AB = DE、BC = EF、CA = FD，以及 m(角 A) = m(角 D)、m(角 B) = m(角 E)、m(角 C) = m(角 F)。我們記作三角形 ABC = 三角形 DEF，而字母的順序是一個承諾，說明哪個元素對應哪個元素。
核對全部六個元素誠實卻累人，而且超出實際所需。三角形是極為剛硬的形狀：固定恰當的三個量度，剩下的三個就毫無自由可言。本篇的全部要務，就是學會哪三個就足夠——同樣重要的是，哪三個並不足夠。
SSS、SAS、ASA：三匹主力
第一個判定法最具實體感。若一個三角形的三邊分別等於另一個三角形的三邊，則兩三角形全等——這就是 SSS（邊邊邊）。想像用三根長度固定的硬棍搭三角形：一旦首尾相接，形狀就無法晃動。三角形會自我支撐；這正是為何橋樑與屋頂桁架佈滿三角形而非正方形——正方形會塌陷成菱形。三個邊長一旦定下，就無從選擇。
第二個是 SAS（邊角邊）：兩邊與它們之間的夾角。若一個三角形的兩邊及其夾角，與另一個三角形的相符，則兩三角形全等。想像兩根棍子在一角用鉸鏈相連。鉸鏈定下夾角；兩棍長度固定；於是它們遠端之間的距離——也就是第三邊——被迫確定，整個三角形也隨之確定。「夾」字是關鍵：這個角必須位於兩條指名邊之間，緊嵌在它們共有的那個角上。
第三個是 ASA（角邊角）：兩角與它們之間的夾邊。若兩角及其夾邊相符，則兩三角形全等。這裡的圖像是一條長度固定的底線，兩端各以固定角度射出一條射線。這兩條射線必恰好相交於一點，把頂點與整個三角形釘住。它還有個近親 AAS，已知的邊不在兩角之間；它同樣成立，因為三角形內角和（三角合為 180 度）讓你能算出第三個角，悄悄地把 AAS 化回 ASA。
SSS : three sides match -> congruent SAS : two sides + the angle BETWEEN them -> congruent ASA : two angles + the side BETWEEN them -> congruent AAS : two angles + a side not between them -> congruent (via angle-sum) -------------------------------------------------------------- SSA : two sides + a non-included angle -> NOT enough AAA : all three angles, no side -> NOT enough (only similar)
兩個看似法則卻不是的
人們很容易以為任何三個相符的元素都能鎖住三角形，但有兩種排列會失敗，而明白原因能讓你避開一整類錯誤證明。這就是 SSA 與 AAA 非判定法。AAA——三角全相等——只固定形狀，不固定大小：一個小三角形與一個大三角形可以三角全同，就像一張照片與它的放大版。三角相等給你相似形，這本身是個有力的概念，但不是全等。
SSA 更微妙，也讓更多人栽跟頭。你已知兩邊與一個不在它們之間的角。想像一條固定邊、由其近端射出的一個角，以及一條長度固定的第二邊從遠端的射線擺下來與底線相接。若這條擺動邊夠短，它能在底線上的兩個不同位置相接——同一組 SSA 資料便造出兩個確實不同的三角形。這就是著名的模糊情形：同樣三個量度描述了兩個不全等的三角形，所以 SSA 不能當作全等法則。
一個完整證明，與報酬 CPCTC
讓我們實際做一個。設 M 是線段 AC 與 BD 兩者的中點——兩線段相交於 M，各把對方平分。主張：三角形 AMB = 三角形 CMD。因為 M 平分每條線段，故 AM = CM 且 BM = DM。M 處的兩角，即角 AMB 與角 CMD，是對頂角，所以相等——這是你在本段第一篇證過的事實。這就是兩邊與其夾角：正是 SAS。
- AM = CM，因為 M 是 AC 的中點（已知）。
- 角 AMB = 角 CMD，因為它們是交點 M 處的對頂角。
- BM = DM，因為 M 是 BD 的中點（已知）。
- 由 SAS，三角形 AMB = 三角形 CMD。
- 因此 AB = CD，由 CPCTC。
最後那一行，正是證明全等之所以值得費心的全部理由。一旦兩三角形已知全等，每一對剩下的對應元素也自動相等——就是你沒拿來證明的那三對。這個原理叫 CPCTC：全等三角形的對應元素相等。我們用了三個相符的元素（兩邊一角）掙得全等；CPCTC 接著把另外三個免費奉上，這就是為何我們無須直接量 AB 或 CD，便能斷定 AB = CD。
如何選定你的判定法
實際操作中，證明全等多半是記帳工夫：蒐集題目給你的相等元素，看清它們的排列方式，再為相符的判定法命名。共用邊算數（一邊等於自己），中點給出相等的兩半，對頂角給出相等的角，而本段第二篇講的平行線會隔著截線送你相等的同位角。關鍵技巧是讀懂排列：已知的角是夾在兩條已知邊之間，還是偏在一旁？
依序檢視一遍。有三邊？SSS。兩邊夾著一角？SAS。兩角夾著一邊，或兩角配任一邊？ASA 或 AAS。直角三角形有斜邊與一股？HL。若你手上只有兩邊與一個偏在角落的散角，停下來——那是 SSA 陷阱，不是證明。老實說，把圖配上正確的四字母標籤，就佔了這個層級三角形證明的九成。
這四個判定法，是你日後一再取用的工具組。下一篇會把它們轉向單一三角形：當一個三角形的兩邊相等時，一個優雅的全等論證會證明底角也必相等——這是等腰三角形與其分角線的核心。你在這裡築起的一切，將原封不動地用上。