為什麼三角形的內角和是 180 度

一個你早就半信半疑的事實

把任何一個紙做的三角形撕下三個角，把尖端對尖端拼在一起，它們總是恰好填滿一條直線——沒有縫隙，也沒有重疊。那條直線是 180 度，所以三個角必定加起來是 180。這是個很美的示範，而且幾乎就是一個證明。幾乎這個詞有它的份量：撕紙只能說明你剛好剪出來的那些三角形是如此，卻不能保證每一個三角形都這樣，包括那些你根本懶得剪下來的細長三角形。

把示範變成確定的，是你在前兩篇學到的功夫。你已經知道兩線相交會產生相等的對頂角，也已經知道一條截線對一組平行線會做什麼。三角形的內角和其實只是把這兩個想法指向同一條巧妙的線而已。所以這篇與其說是在講一個新事實，不如說是讓你看清楚：那個老掉牙、半信半疑的事實，為什麼非真不可。

一條線的證明

取三角形 ABC。過頂點 A 畫一條平行於底邊 BC 的直線——這條輔助線就是全部的訣竅。現在 BC 與這條新線平行，而兩邊 AB 與 AC 都是同時穿過它們的截線。接下來的一切，都由你已經信得過的平行線角度事實推出來。

        x \  A  / y          line through A, parallel to BC
         \ |__|/
          \ /  \
           B----C

  x = m(angle ABC)   (alternate interior angles, AB cuts the parallels)
  y = m(angle ACB)   (alternate interior angles, AC cuts the parallels)
  x + m(angle BAC) + y = 180   (the three angles at A fill a straight line)

B 與 C 的角以內錯角的身分在 A 處重現，接著一直線上的三個角加起來是 180。

在平行線左側標出 A 處的角。因為 AB 是截線，由內錯角法則，這個角等於 m(angle ABC)。把它叫做 x。
在右側標出 A 處的角。因為 AC 是截線，這個角同樣由內錯角等於 m(angle ACB)。把它叫做 y。
聚在 A 處的三個角——x、原本的 m(angle BAC)、以及 y——都排在那條筆直的平行線上，所以依角的加法，它們合成一個平角：x + m(angle BAC) + y = 180。
把 x 換回 m(angle ABC)、把 y 換回 m(angle ACB)，就剩下 m(angle ABC) + m(angle BAC) + m(angle ACB) = 180。這正是三角形內角和定理。

外角：一個值得記住的捷徑

現在把 BC 沿 C 的方向延長到一點 D。在三角形外側張開的角 ACD 就是一個外角。它和內角 ACB 構成一組線性對，所以 m(angle ACB) + m(angle ACD) = 180。但內角和告訴我們，另外兩個內角也和 ACB 一起填滿 180。把這兩個式子都減掉 ACB，剩下的部分就非相等不可。

剩下的這部分就是外角定理：三角形的一個外角，等於不相鄰的那兩個內角之和（兩個遠端內角）。寫成符號是 m(angle ACD) = m(angle BAC) + m(angle ABC)。它能省下無數步驟——你不必先求出第三個內角再用 180 去減，而是直接從兩個遠端的角讀出外角。

一個小例子：若 m(angle BAC) = 50、m(angle ABC) = 70，則 C 處的外角就是 50 + 70 = 120，你完全不必去算 C 處的內角（順帶一提它是 60）。也請注意，外角 120 比兩個遠端內角中的任何一個都大——外角永遠大於組成它的每一個角。這個小小的不等式，正是「最長邊對最大角」這個事實的種子，而後面的篇章會倚靠它。

拿來用：三個快速的判讀

用這個定理的題目，大多只是記帳：寫下你知道的、從 180 減掉、就完成了。技巧在於認出你正待在哪一個 180 裡面——是三角形的三個內角、線性對的平角、還是截線上的一個平角。它們在紙上長得很像，所以動算術之前，先把三角形標好。

求第三個角。兩個角是 35 與 85，第三個是 180 - 35 - 85 = 60。（若你算出的三個角加起來不是 180，請重算——在平面上這絕不會發生。）
用外角。三角形有兩個內角 40 與 75；第三個頂點處的外角是 40 + 75 = 115。比 180 - 65 還快。
追一張圖。你要的角常常同時屬於一個三角形和一個平行線圖形。先用三角形解出某個角，再把它當作同位角或內錯角搬過平行線。這兩件工具會把工作來回交接。

有一個值得收進口袋的推論：一個三角形最多只能有一個直角、最多只能有一個鈍角，因為其中任兩個就已經獨吞 180 度或更多。正三角形把 180 平均分成三個 60。而直角三角形的兩個非直角必定恰好加起來是 90——這個事實，是你日後做正弦、餘弦時默默倚賴的。

誠實的註腳：180 是一種選擇

回頭看那個證明。它的每一行都倚靠平行線角度——而這些角度之所以成立，只因為一個假設：過一條給定直線外的一點，恰有一條平行線，也就是平行公設的普萊費爾公理版本。把這個假設拿走，那條輔助平行線要嘛不唯一、要嘛行為不同，內角和也就不再非得是 180。180 不是織進宇宙裡的，它是織進平直的歐氏幾何裡的。

在球面上，從北極沿兩條經線往下畫到赤道，再沿赤道連起來。兩個底角本身就已經各是直角，所以三個角加起來超過 180。在球面幾何裡，每個三角形的內角和都大於 180，多出來的部分叫做角盈。在馬鞍形（雙曲）曲面上，它們加起來小於 180，留下角虧。這兩者都不是錯誤——各自都是它自己那個曲面上誠實的真相。