平行線與截線

一刀切，八個角

在前一篇指南裡，你已經看過單一交點處發生的事：兩條線交於一點，切出四個角，其中對頂角相等，每一組線性對（鄰補角）加起來是 180 度。現在我們多添一條線，把賭注往上加一級。取兩條永不相交的線——兩條平行線，叫它們 line AB 與 line CD——再畫第三條線筆直地橫越兩者。這第三條線就是截線。它在第一條平行線上交於一點，在第二條上交於另一點，於是我們有了兩個各自分開的交點，總共 4 + 4 = 8 個角。

八個角聽起來要記的很多，但這裡有個我們將要掙得的妙點：當兩條線真的平行時，這八個角只有兩種不同的大小。某個銳角，以及它的補角。隨便挑八個中的一個；其餘每一個角，要嘛和它相等，要嘛和它湊成 180 度。這篇指南的全部工作，就是替彼此相配的角對取名字，好讓你一眼就認出它們，然後弄懂這種相配究竟為什麼會發生。

替角對命名

在每一個交點，截線都造出四個角。把兩條平行線之間那條帶狀的空間想成內側，把上面那條線以上、下面那條線以下的一切想成外側。每個角還落在截線的某一側——左或右。這兩個座標：在內側還是外側、在哪一側，就足以替每一個角對命名了。

同位角坐落在兩個不同交點的相同位置上——例如上方交點的右上角，與下方交點的右上角。把一個交點沿著截線滑到另一個交點上，能剛好疊在一起的，就是同位角。內錯角兩個都在帶狀內側，但在截線的相對兩側——形成一種 Z 字形，角就嵌在 Z 的兩個彎肘裡。同側內角（又稱同旁內角）兩個都在帶狀內側，且在截線的同一側——它們圍出一個 C 字或 U 字形。

          line AB
   -----1 / 2-----
        3 / 4         <- top crossing
          /
         /  (interior strip)
        /
   -----5 / 6-----    <- bottom crossing
        7 / 8
          line CD

 corresponding:  1&5  2&6  3&7  4&8
 alt. interior:  3&6  4&5
 co-interior:    3&5  4&6

為什麼這些角對會相配

這裡要老實說。同位角在兩線平行時相等，這件事沒辦法單從單一交點的事實裡擠出來——它立足於平行公設（用普萊費爾的說法：過直線外一點，恰有一條平行線）。歐氏幾何就只是假設了這件事，而由它便推得同位角相等。所以教這幅圖最乾淨的辦法是：把同位角相等當作我們獲准使用的那條平行性事實，然後只用你在單一交點已經證過的東西，由它推導出另外兩種角對。

看看這推導有多短。設同位角相等，於是 m(angle 4) = m(angle 8)。在下方交點，angle 8 與 angle 5 是對頂角，所以 m(angle 8) = m(angle 5)。串起來：m(angle 4) = m(angle 5)——而 angle 4 與 angle 5 正是內錯角。Z 字形的相等，就由一組同位角加一組對頂角掉了出來。同側內角同樣快：angle 5 與 angle 6 沿著 line CD 形成一組線性對（鄰補角），和為 180。既然 m(angle 4) = m(angle 5)，便得 m(angle 4) + m(angle 6) = 180。同側內角互補。

反過來跑：一個平行偵測器

到目前為止一切都朝一個方向走：平行則推得那些角的相等。真正深刻又好用的一步，是把這個蘊涵反過來跑。逆敘述說：若一條截線穿過兩條線，並造出一組相等的同位角——或相等的內錯角，或互補的同側內角——那麼這兩條線必定平行。這是一個貨真價實的獨立命題，是我們所證命題的逆命題，在歐氏幾何裡它同樣為真。正是它讓你能作出一條平行線：複製一個角，平行就被逼出來了。

1. 已知一條截線穿過兩條線，且 m(angle 4) = m(angle 5)——一組內錯角相等。
2. angle 5 與 angle 8 是對頂角，所以 m(angle 5) = m(angle 8)。
3. 串接得 m(angle 4) = m(angle 8)：一組同位角現在相等了。
4. 依逆判準，同位角相等便逼使兩線平行。故 line AB || line CD。

一個小小的算例就把它釘死。一條截線遇上兩條道路；上面那條路在截線右側的角量得 70 度，下面那條路的同位角也量得 70 度。同位角相等，於是兩路平行——你立刻就知道那一側的同側內角是 180 - 70 = 110 度，而內錯角又回到 70 度。一個量出來的數字 70，解開了全部八個角。

一個誠實的但書，以及它通往何處

對地基要誠實。本篇每一條相等關係都倚靠平行公設，而它無法由其他公理證出來——它是一個選擇。做出不同選擇的幾何完全自洽：在雙曲幾何裡，過一點有許多條平行線，那些角的相等便失效；而在橢圓幾何裡，一條平行線也沒有。平行截線的這些角的事實，並不是所有幾何的普遍真理；它們是歐氏幾何的真理，忠實於它的公理。這不是缺陷——這是「幾何有得選」的第一個徵兆，本階梯在高處的橫木上會一再回到這個主題。

不過在歐氏幾何之內，這些事實是一頭任勞任怨的耕牛，而緊接著的下一篇指南就把它們兌現。三角形的三個角為什麼剛好加成 180 度？過一個頂點畫一條平行於對邊的線，你方才學會命名的內錯角就把三角形的三個角滑到同一條直線上。平行線與截線並不是冷僻的奇談——它們是證出三角形最著名事實的那根槓桿。