圖像：兩線交成的「X」
畫兩條相交的直線，像一個傾斜的字母 X。它們交於一點——把它叫做 O。在 O 的四周，四條射線散開，把平面切成四個角。順時針編號：上方是角 1，右方是角 2，下方是角 3，左方是角 4。本篇所談的一切都發生在這個小小的交點上，所以在推理之前，先把這幅圖牢牢記在腦中是值得的。
其中有兩對角擁有專屬名稱，因為它們隔著 O 彼此相對。角 1 與角 3 是一對對頂角；角 2 與角 4 也是。這裡的「對頂」與上下方向無關——它來自「頂點」，也就是那個共用的角頂。當兩個角由同樣的兩條直線形成、且分居交點的兩側時，它們就是對頂角。
另一種關係發生在相鄰的兩角之間。角 1 與角 2 緊鄰，共用射線 OB 為公共邊，而它們向外的兩邊 OA 與 OC 合成一條直線。共用一個頂點與一條邊的兩個角稱為鄰角；當它們不共用的兩邊連成一直線時，這對角便有一個特別的名字，我們馬上會見到。
線性對偶角與平角
當兩個鄰角合起來張開成一條直線時，它們構成一對線性對偶角。在我們的 X 中，角 1 與角 2 就是一對線性對偶角，因為它們向外的射線 OA 與 OC 沿著其中一條直線指向完全相反的方向。一條直線從一個方向掃到它的反向，正好轉過一個 180 度的平角。
因此任何一對線性對偶角的兩角必定相加為 180 度。這就是線性對偶角公設，而它其實只是把角的加法公設用在平角上：m(角 1) + m(角 2) = 180。兩角度數相加為 180 度者，稱為互補角，所以線性對偶角必定互補——但反過來不一定成立，因為兩個互補角也可以分處紙面上毫不相干的兩處。
為何對頂角相等
交點處有個小小的奇蹟：無論這個 X 看起來多麼歪斜，對頂角永遠相等。它的證明只需要用到線性對偶角，短到足以記在腦中。看上方的角 1。它與角 2 構成一對線性對偶角（共用邊 OB），同時也與角 4 構成一對線性對偶角（共用邊 OA）。
- 角 1 與角 2 是一對線性對偶角，所以 m(角 1) + m(角 2) = 180。
- 角 3 與角 2 也是一對線性對偶角，所以 m(角 3) + m(角 2) = 180。
- 兩個和都等於 180，故令其相等：m(角 1) + m(角 2) = m(角 3) + m(角 2)。
- 兩邊同減去共用的 m(角 2)：m(角 1) = m(角 3)。這對對頂角相等。
對另一條對角線重複同樣的論證，便得到 m(角 2) = m(角 4)。注意這個證明的引擎：角 2 是角 1 與角 3 共同的補角，而「補於同一角的兩個角必相等」正是關鍵所在。這就是對頂角定理，也是你在這一段中第一個真正的兩欄式證明成果——是你親手掙來、而非僅僅被告知的事實。
一個算過的交點
假設這四個角之中有一個是 35 度——設 m(角 1) = 35。整個交點便完全確定了。它的對頂夥伴角 3 也必為 35 度。鄰角角 2 與角 4 各自與角 1 構成線性對偶角，所以各為 180 - 35 = 145 度。快速驗算：四個角繞著交點一圈，總和應為 35 + 145 + 35 + 145 = 360，恰好是一整圈，正如環繞 O 的一周角所應有的樣子。
m(angle 1) = 35 (given) m(angle 3) = 35 vertical angles, = angle 1 m(angle 2) = 145 linear pair with angle 1: 180 - 35 m(angle 4) = 145 vertical angles, = angle 2 ---------------------------------------------- sum around O = 360 full turn
常見的變化把它包裝成代數題：兩個對頂角被標為 (3x + 10) 與 (5x - 20) 度。因為對頂角相等，令 3x + 10 = 5x - 20，得 30 = 2x，故 x = 15，每個角都是 55 度。「對頂角相等」這個單一想法，把一幅圖轉成一條你能解的方程式——這正是日後題目裡反覆出現的同一個動作。
這條路通往何處
這些角的事實單獨看很微小，卻是接下來每個證明的文法。下一篇會加入一條橫切另外兩條線的截線，你會看見對頂角與線性對偶角與平行線的同位角攜手合作。再過不久，同樣的「互補又相等」推理會解釋為何三角形的三個角合成一個平角，並悄悄支撐起本段核心的全等判定法則。