藏在所有恆等式底下的那一條
第二篇把三角學移上單位圓，藉此將它解放：一個角 theta 在半徑為 1 的圓上挑出一個點，而它的座標恰好是 (cos theta, sin theta)。這一張圖安靜地裝著整個三角學裡最重要的恆等式，而你其實從直角三角形那一階梯起就認得它了——它不過是換了頂帽子的畢氏定理。這個點落在半徑為 1 的圓上，所以它離圓心的距離是 1，意思是 cos theta 與 sin theta 是一個斜邊為 1 的直角三角形的兩股。
把它用 a^2 + b^2 = c^2 寫出來，兩股是 cos theta 與 sin theta、斜邊是 1，你就得到畢氏恆等式：cos^2 theta + sin^2 theta = 1，對每一個角 theta 都成立、毫無例外。（這裡 cos^2 theta 是 (cos theta)^2 的標準簡寫——餘弦的平方，而非 theta^2 的餘弦。）它說旋轉點的高與寬永遠平衡，使得兩者的平方加起來等於一。把點往上抬，sin theta 增大而 cos theta 縮小；這個交換是精確的，在轉動的每一瞬間都由這條方程式所支配。
再繞一圈：週期性
在單位圓上，當你不停轉動、越過一整圈時，會發生什麼事？你落回完全相同的點。角 theta 與角 theta + 2 pi（多繞一圈，以弧度計）指向同一個位置，所以它們必有相同的座標：cos(theta + 2 pi) = cos theta 且 sin(theta + 2 pi) = sin theta。這就是週期性——數值每隔 2 pi 就重複，永遠如此，兩個方向皆然。它不是三角學的什麼特殊把戲；它就是那個樸素的事實：圓沒有盡頭，繞一圈就回到家。
現在把那個重複攤開到一張圖上。把角 theta 放在水平軸、把數值 sin theta 放在垂直軸，當 theta 向前掃動時，點的高度在四分之一圈時升到 1、在半圈時穿回 0、在四分之三圈時降到 -1、在一整圈時回到 0——然後從頭再來一遍。結果就是那條平滑、無盡滾動的正弦波，而餘弦的圖形正是同一條波向左平移四分之一圈，因為 cos theta 不過是把 sin theta 提前四分之一圈來讀。這些就是描述擺動的鐘擺、聲波、交流電——任何循環事物——的曲線。
把角組合起來：和角公式
一個自然的問題從旋轉點長出來：若你分別知道兩個角的正弦與餘弦，能否求出它們的和的正弦與餘弦？直覺警告你答案並非簡單的 sin alpha + sin beta——先轉 alpha 再轉 beta，並不是把高度加起來而已，因為第二次轉動是從一個傾斜的位置出發、而非從水平。真正的關係是和角公式，它們是三角學中幾乎每一條後續公式背後的主力。
sin(alpha + beta) = sin alpha cos beta + cos alpha sin beta cos(alpha + beta) = cos alpha cos beta - sin alpha sin beta
這些不是該畏懼的任意符號串；它們可以直接從一次旋轉讀出來。把一個點轉過角 alpha、再轉過角 beta，與一口氣把它轉過 alpha + beta 是同一回事，而把這兩種描述的座標對應起來，恰好交給你這些公式。（做那個對應的俐落機器——旋轉矩陣，或複數，其中乘以 cos theta + i sin theta 會把平面旋轉——在線性代數與複分析那些階梯等著。公式為何成立的幾何，現在已完全可見；最漂亮的證明只是擁有更好的工具罷了。）從這兩行流出和角與差角公式、倍角公式（令 beta = alpha），以及接著的半角公式。
- 想要 cos 75 度的精確值？把 75 寫成 45 + 30，這兩個角的正弦餘弦你都可從特殊直角三角形得知。
- 用 cos(alpha + beta) = cos alpha cos beta - sin alpha sin beta，取 alpha = 45、beta = 30。
- 代入已知值：cos 75 = (根號2 / 2)(根號3 / 2) - (根號2 / 2)(1/2)。
- 化簡得 cos 75 = (根號6 - 根號2) / 4，一個無需計算機就找到的精確值——是恆等式做了這份工作。
一套新的地址系統：極座標
至此一切都活在笛卡兒平面上，你用一個點往右多少、往上多少來命名它：有序對 (x, y)。那是個不錯的地址系統，但它是為方格與筆直街道而造的，碰到圓就彆扭。極座標提供另一種地址：用一個點離原點多遠、朝哪個方向來命名它。距離是 r（一個半徑），方向是從正 x 軸量起的角 theta，而這個點的地址是 (r, theta)。
兩套系統之間的橋，完全由你已擁有的三角學築成——它就是放大到半徑 r 的單位圓。一個在距離 r、角 theta 的點，水平位置是 x = r cos theta、垂直位置是 y = r sin theta；這兩條方程式把極座標換成笛卡兒座標。反過來走，距離是 r = sqrt(x^2 + y^2)（距離公式，又是畢氏定理），方向是 theta = arctan(y/x)，要留意這個點落在哪一象限。當初給我們核心恆等式的同一條畢氏定理，如今把兩套座標系統縫在一起。
極座標為何值得：那些想要旋轉的曲線
回報是：圍著一個中心建造的形狀變得驚人地簡單。在笛卡兒座標下，一個以原點為心、半徑 a 的圓是 x^2 + y^2 = a^2——還算可以，但它帶著兩個糾纏在平方裡的變數。在極座標下，同一個圓不過是 r = a：在距離 a 處、每一個方向、theta 掃過整圈的每一個點。一個字母等於一個數字。以方格為本的地址硬扛著圓；以角度為本的地址卻像手套一樣合身，因為圓就是所有與某一固定距離相等的點的集合——而這正是 r = a 大聲說出來的話。
一旦允許 r 依賴於 theta，便綻放出一整座極座標曲線的花園，這些曲線在 x 與 y 裡會醜陋到嚇人。讓 r 隨角穩定增長，r = theta，點就像盤起的繩子般向外旋出（阿基米德螺線）。讓 r = 1 + cos theta，你描出一個心形的心臟線；讓 r = cos(3 theta)，跑出一朵完美的三瓣玫瑰，花瓣數鎖在餘弦裡那個數上。這些極座標曲線不是奇珍——軌道、天線輻射場型、螺旋星系都說這種語言，因為大自然如此頻繁地圍著一個中心、而非圍著方格來組織自己。
退一步，把整個階梯收進一個畫面。你從 SOHCAHTOA 與困在直角三角形裡的三個比值開始；單位圓把這些比值解放，使它們能掃過每一個角；弧度給了角它自然的度量；正弦定律與餘弦定律把這些比值延伸到完全沒有直角的三角形。如今恆等式與週期性揭示了綑綁這些函數的深層結構，而極座標把那個結構變成一種測繪平面的新方法。三角學起初是一件測量三角形的工具，它已悄悄成為一切旋轉、波動、與重複之事物的數學。