走出直角的牢籠
從本梯級的第一篇起，你就能拿任何一個 直角 三角形，指定一個銳角，再用 SOHCAHTOA 讀出它的邊。這確實很有力——但仔細看，你會發現整台機器都倚著一個成分：那個直角。斜邊、對邊、鄰邊——這些名稱唯有當某個角恰好是 90 度時才說得通。把那個角從方正偏開，名稱就失去了意義，而老方法的 解三角形 也就卡住了。
然而你遇到的多數三角形——測量員的地塊、屋頂桁架、兩艘船與一座燈塔之間的那個三角形——哪裡都沒有直角。我們需要能從手上恰好知道的零碎資訊解出三角形的工具：也許是兩角夾一邊，也許是兩邊夾一角，也許是三邊全給。兩條定理涵蓋了其中每一種情形。它們是 SOHCAHTOA 的自然續集，而祕訣在於：我們根本不會拋棄直角三角形——我們會用一條垂下的高，持續把一般三角形切成直角三角形。
正弦定理：每條邊都服從的同一個比值
從頂點 C 垂直放下一條高 h，落到邊 c 上。這一條線就把三角形切成兩個直角三角形，老機器在每一半裡又能用了。在左半，sin A = h / b，所以 h = b sin A。在右半，sin B = h / a，所以 h = a sin B。兩個式子等於同一個高，於是 b sin A = a sin B，重排即得 a / sin A = b / sin B。對另一條邊放一條高，第三個比值也加入進來——這就是整個證明。
寫出來，正弦定理說 a / sin A = b / sin B = c / sin C——三組「邊與角」共享同一個比值。試一個快速的 AAS 解：設 A = 40 度、B = 60 度、邊 a = 8。第三個角是 C = 180 - 40 - 60 = 80 度。於是 b = 8 times sin 60 / sin 40 = 8 times 0.866 / 0.643，約 10.78；而 c = 8 times sin 80 / sin 40，約 12.25。三個角加一條邊，兩行字就給出了整個三角形。
把 正弦定理 讀成一句完美比例的陳述：每條邊與其對角的正弦，構成同一個共享的比值，三者皆然。一旦你能把一條邊與它對面的角配成一對，它就是對的工具——也就是 AAS 與 ASA 情形，你知道兩個角（第三個就自由了，因為 三角和為 180 度）以及任一條邊。而那個共同的比值也不只是記帳：它正等於這個三角形外接圓的直徑，是悄悄通回圓幾何的一座橋。
模稜兩可的情形：當資料容許兩個三角形
正弦定理有一個誠實的陷阱，跳過它正是粗心的學生失分之處。假設你知道兩邊以及一個 不在 它們之間的角——比方說邊 a、邊 b，以及對著 a 的角 A。你把邊 a 像一扇裝了鉸鏈的門那樣，從邊 b 的末端擺動，試著去碰底線。看 a 有多長，這扇門可能在兩處碰到底線、恰好在一處碰到、或者根本碰不到。於是同一組數字可以描述兩個不同的三角形、一個三角形、或一個也沒有——這就是 模稜兩可的情形，也就是 SSA 的處境。
為什麼會這樣，算術很簡單，也值得一看。當你解 sin B = b sin A / a 時，計算機上的反正弦鍵永遠只回傳那個銳角——但它的補角（180 度減去那個值）有完全相同的正弦值，這來自你兩篇前看過的 單位圓 對稱。如果那個補角代入後，角的總和仍小於 180 度，它就給出第二個、真正成立的三角形。這不是定理的瑕疵；這是定理忠實地報告：SSA 根本釘不住一個三角形，不像 SAS 或 SSS 那樣總能釘死。
餘弦定理：帶修正項的畢氏定理
正弦定理需要一條邊配上它的對角，所以在兩種常見處境裡它就絆住了：當你知道兩邊以及夾在它們之間的角（SAS），或當你知道三邊卻一個角都沒有（SSS）。遇到這些，就拿出 餘弦定理。它看起來比較笨重，但其實只是 畢氏定理 多栓上一項，用來修正「那個角不是 90 度」這件事。
Law of cosines: c^2 = a^2 + b^2 - 2 a b cos C
When C = 90 deg, cos C = 0, and it collapses to:
c^2 = a^2 + b^2 (the Pythagorean theorem)
Example (SAS): a = 5, b = 7, C = 60 deg
c^2 = 25 + 49 - 2*5*7*cos 60
= 74 - 70 * 0.5 = 74 - 35 = 39
c = sqrt(39) = 6.24看著那個修正項 -2 a b cos C，它的誠實就傾瀉而出。若 C 是直角，cos C = 0，這一項消失，剩下老老實實的 a^2 + b^2 = c^2。若 C 是 銳角，cos C 為正，於是我們減去一些東西，使 c 變短——對著一個被夾窄的角的那條邊就短，正如你眼睛所料。若 C 是 鈍角，cos C 為負，負乘負反而加上去，c 就拉長。這一條公式悄悄就懂得銳角與鈍角三角形的分別，不必另外背誦什麼分類。
而餘弦定理可以反向運轉。把它重排成 cos C = (a^2 + b^2 - c^2) / (2 a b)，餵進三條已知邊，角就跑出來。這裡沒有正弦那種模稜兩可：在 0 到 180 度的整個範圍裡，鈍角的餘弦為負、銳角的餘弦為正，所以每個餘弦值都恰好指名一個三角形的角。這就是為什麼餘弦定理是 SSS 情形可信賴的工具——三邊必須唯一決定每個角，而那個曾困擾 SSA 的模稜兩可在此根本無從發生。
挑選你的工具，外加一個面積的紅利
兩條定理在手，解任何三角形就變成「把工具配對給你拿到的資料」這個問題。決定性的問句永遠相同：你能不能把一條邊直接和它的對角配成一對？能，正弦定理較快。不能——如果你的已知角卡在兩條已知邊之間，或你只有邊——餘弦定理就是入口，常常先用它求出第三邊，再把剩下的角交給正弦定理去解。
- 盤點你知道的東西。數一數給定的邊與角，並記下哪個角對著哪條邊。
- 兩角加任一邊（AAS / ASA）：用 180 度的角和求出第三角，再用正弦定理求出缺的邊。
- 兩邊夾一角（SAS）：用一次餘弦定理求出對面的第三邊，再用正弦或餘弦定理收尾。
- 三邊俱全（SSS）：用餘弦定理的重排形式逐一讀出每個角，不必擔心任何模稜兩可。
- 兩邊與一個非夾角（SSA）：用正弦定理，然後刻意檢驗補角，看是否存在第二個三角形。
這一切還落下一個優雅的紅利。一旦你知道兩邊及其夾角，不必找出任何高就能求三角形的面積：正弦面積公式，Area = (1/2) a b sin C。它直接來自「底乘高除以二」——只要你注意到高就等於 b sin C，正是那條一開始給了我們正弦定理、從頂點垂下的同一條線。邊、角、面積，全都從你從頂點畫出的那條誠實的小線流淌而出。SOHCAHTOA 開了門；這兩條定理帶你走遍門後的每一個房間。