單位圓讓三角函數自由

SOHCAHTOA 走到沒路的地方

從前一篇指南開始，你已經能把 SOHCAHTOA 講到睡著都會背：在直角三角形裡，sin theta 是對邊比斜邊，cos theta 是鄰邊比斜邊，tan theta 是對邊比鄰邊。這是個漂亮的工具——但仔細盯著它看，你會察覺一個籠子。那些比值每一個都住在一個直角三角形裡面，而直角三角形另外兩個角必須是銳角，嚴格落在 0 到 90 度之間。所以照定義來看，sin 90 度很尷尬（三角形已經塌掉了），sin 120 度則乾脆毫無意義。根本沒有一個內含 120 度角的直角三角形。

然而一旦離開課本上那個三角形，大於 90 度的角到處都是。一個轉過最高點的輪子、盪回另一邊的鐘擺、航向 200 度的船、牆上插座裡的交流電——它們全都想要那些沒有任何銳角三角形裝得下的角的正弦與餘弦。誠實的情況是這樣：SOHCAHTOA 並不錯，它只是窄。我們需要一個定義，它在銳角上和 SOHCAHTOA 完美一致，卻能在角長過 90、過 180、過 360、甚至變成負的時候，仍然講得通。

一個圓，半徑為一，圓心在原點

單位圓是你叫得出名字裡最簡單的圓：圓心在座標平面的原點，半徑剛好為 1。現在是關鍵的一步。讓一條射線從正 x 軸出發，逆時針掃過一個角 theta。射線與圓相交之處，碰到唯一一個點 P。把一切都解放的定義就是這個：cos theta 是 P 的 x 座標，sin theta 是 P 的 y 座標。整個想法就這樣。那個騎在圓上的點 P，就是有序對 (cos theta, sin theta)。

驗證一下，這對銳角 theta 和舊三角形是一致的。從 P 直直往下作垂線到 x 軸，落在點 Q。triangle OPQ 是個直角三角形：斜邊 OP 長為 1（它是半徑），水平股 OQ 的長等於 P 的 x 座標，鉛直股 PQ 的長等於 P 的 y 座標。依 SOHCAHTOA，cos theta = 鄰邊/斜邊 = OQ/1 = OQ = x，而 sin theta = 對邊/斜邊 = PQ/1 = PQ = y。完全相同。單位圓對銳角沒有更動任何一個值——它只是不再需要那個三角形在那裡了。

因為斜邊被鎖定在 1，那些麻煩的分母消失了，於是座標就是三角函數值本身。這正是選半徑為 1 而非隨便哪個圓的安靜的天才之處：它把正弦與餘弦從比值變成了單純的位置。想要 tan theta？它仍然是對邊比鄰邊，在這裡就是 sin theta / cos theta = y/x——也就是射線 OP 的斜率。你知道的每一個值都還在這裡；它只是被給了座標可以站。

現在角可以長過 90——也可以變負

這就是我們付了代價換來的自由。不管 theta 掃得多遠，點 P 都繼續沿著圓滑行，所以它的座標——因而 sin theta 與 cos theta——對每一個角都有定義。在 theta = 90 度時，P 坐在最頂端 (0, 1)，於是 cos 90 = 0、sin 90 = 1，不需要任何塌掉的三角形。在 theta = 180 度時，P 在 (-1, 0)：cos 180 = -1、sin 180 = 0。在 270 度時，P 在 (0, -1)。這些值繞著圓行進，和那個點一樣平順。

關鍵在於，正負號現在自己會打理自己。在第二象限（90 到 180 度之間的角），P 的 x 為負、y 為正，所以餘弦為負而正弦保持為正——這就是 cos 120 度為什麼為負的原因，不是因為有什麼規則要背，而是因為那個點確實坐在 y 軸的左邊。改成順時針掃，你就得到負角：theta = -30 度把 P 帶到 x 軸下方，給出 sin(-30) = -1/2。這一張圖，把那些在表格裡看起來像隨意瑣事的正負號樣式，全部解釋清楚了。

畢氏恆等式，就藏在眼前

因為 P = (cos theta, sin theta) 住在一個半徑為 1 的圓上，它的座標必須滿足圓自己的方程式 x^2 + y^2 = 1。代入，你就得到整個三角學裡最常用的那一個事實，畢氏恆等式：cos^2 theta + sin^2 theta = 1，對任何一個角 theta 都成立。它不是什麼新的謎——它就是畢氏定理套用在直角三角形 OPQ 上，這個三角形的兩股是 cos theta 與 sin theta，斜邊是半徑 1。

P = (cos theta, sin theta)  on the unit circle x^2 + y^2 = 1

   y |       . P = (cos t, sin t)
     |      /|
   1 +    / |  sin t   (vertical leg)
     |   /  |
     |  / t |
  ---+--------+----  x
     O   cos t  Q
     |  (horizontal leg)

x^2 + y^2 = 1   =>   (cos theta)^2 + (sin theta)^2 = 1

單位圓裡含著直角三角形 OPQ。從座標軸讀出 P 的座標就得到餘弦與正弦；圓的方程式 x^2 + y^2 = 1 瞬間就成了畢氏恆等式。

注意這一個關係做了多少事。告訴我 sin theta 和象限，這個恆等式就把 cos theta 連同正負號交給你（再由象限定下正負號）。這就是為什麼三角函數彼此打結相連、而非各自獨立——知道一個，加上一點位置資訊，就釘住了其他的。我們寫 cos^2 theta 表示 (cos theta)^2；那個平方坐在值上，不是坐在角上。這個從半徑為 1 的圓誕生的恆等式，將會是你在本級橫木最後一篇指南遇到的幾乎每一個後續恆等式的種子。

蓋起圓上的地標點

你不是去背單位圓；你是從一小撮你早已信任的三角形把它蓋起來。整個圓由前一級橫木的特殊直角三角形——30-60-90 與 45-45-90——釘定。它們的邊比成了 P 在那些著名角度上的座標，而圓的四重對稱把每個第一象限的點複製到另外三個象限去，途中翻轉正負號。老老實實掌握一個象限，其餘的就是鏡射。

先錨定四個座標軸上的點，這裡不需要任何三角形：theta = 0 給出 P = (1, 0)；90 度給出 (0, 1)；180 度給出 (-1, 0)；270 度給出 (0, -1)。
對 45 度，用 45-45-90 三角形：兩股相等，所以 x = y，配上 x^2 + y^2 = 1，每個都是 (sqrt 2)/2。於是 P = ((sqrt 2)/2, (sqrt 2)/2)。
對 30 度，30-60-90 三角形給出短股（這裡是高）= 1/2、長股 = (sqrt 3)/2，所以 P = ((sqrt 3)/2, 1/2)。對 60 度，把座標對調：P = (1/2, (sqrt 3)/2)。
用參考角把它們鏡射到其他象限：150 度把 30 度沿 y 軸鏡射到 (-(sqrt 3)/2, 1/2)；210 度落在第三象限 (-(sqrt 3)/2, -1/2)。數字一樣，正負號由象限決定。

離開前一個誠實的但書：我們從頭到尾都用度來量角，這很舒服，卻不是圓自己偏好的度量。單位圓的周長是 2 pi，而這個數字正央求著要成為角的單位——一整圈是 2 pi 而非 360。那個轉換，轉到弧度，正是 正弦、餘弦與正切函數暗地裡所運行的東西，也正是緊接著的下一篇指南的主題。你剛蓋好的這個圓是舞台；弧度就要給它配上它天生的那把尺。