從移動的點到移動的薄片
在曲線那一階，你學會把曲線看成不是凍結的圖，而是一個移動的點 gamma(t)，沿一個時鐘值 t 描出。曲面是自然的下一步：不是一個鐘，而是轉兩個旋鈕。一個曲面參數化是一個取兩個參數的向量值函數，寫作 x(u, v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v))；當 (u, v) 這一對在平面上一塊平坦的小區域裡跑動，點 x(u, v) 就掃出一張坐落於空間中的薄片。固定 v，讓 u 跑：你得到一條畫在曲面上的曲線，稱為 u-曲線。改為固定 u，讓 v 跑：一條 v-曲線。整張曲面就由這兩族座標曲線織成，像布料的經與緯。
正如曲線需要正則性——速度永不停滯——曲面也需要它自己的誠實條件。在一點上，我們把 x 沿各方向分別微分，得到兩個速度向量：x_u =（partial x / partial u）與 x_v =（partial x / partial v）。每一個都與它自己的座標曲線相切。當 x_u 與 x_v 永不平行——等價地說，它們的外積 x_u x x_v 永不是零向量——我們便稱這塊區域為正則曲面。這唯一的要求保證了兩個座標方向確實在該點張出一個平坦的二維平面，不會塌成一條線或一根尖刺。這是曲面的承諾：近看時，它真的長得像二維的。
切平面：曲面最好的平坦近似
在曲面上選一點 P。兩支速度箭頭 x_u 與 x_v 都住在 P，因為它們不平行，便張出一個過 P 的平坦平面——切平面。這正是曲線切線在曲面上的對應物：在 P 處親吻曲面的最佳平坦近似。你從 P 出發沿曲面行走可能踏出的任何方向，到一階近似都是 x_u 與 x_v 的組合。因此一個切向量就是 w = a x_u + b x_v，其中 a、b 是某兩個數——這對 (a, b) 不過是你這一步各含多少座標方向。
這裡有個關鍵的微妙之處，也是曲面比曲線難的原因。兩支基底箭頭 x_u 與 x_v 一般不是單位長，也一般不互相垂直。一個在座標裡讀作「(a, b) = (1, 0)」的步伐——沿 u 走一個單位——在真實空間中可能是一大步或一小步，端看那裡的 u-曲線被拉伸得多厲害；而 u 與 v 方向也可能以一個斜角相交，而非乾淨的直角。所以座標標籤 (a, b) 並不告訴你這一步的真實長度，或兩步之間的真實角度。必須有某物把座標帳本翻譯成誠實的幾何。那位翻譯者就是第一基本形式。
三個數 E、F、G 握住全部的幾何
解法美得極省。要在切向量之間量度長度與角度，你只需要兩支基底箭頭彼此的點積——而這樣的點積只有三個。我們把它們命名為 E、F、G：E = x_u . x_u（u-步的長度平方）、G = x_v . x_v（v-步的長度平方）、F = x_u . x_v（記錄它們之間的角度，因為 u . v = |u||v| cos theta）。這三個 (u, v) 的函數就是第一基本形式的全部資料。E 告訴你 u-方向被拉伸多少，G 告訴你 v-方向被拉伸多少，而 F 告訴你座標網格是否傾斜——恰好當 u-曲線與 v-曲線以直角相交時，F = 0。
現在看它的回報。取任一切向步伐 w = a x_u + b x_v。它的長度平方就是點積 w . w，用 E、F、G 展開便得 |w|^2 = E a^2 + 2F ab + G b^2——一個關於你座標分量 (a, b) 的整齊二次式。若讓這一步變成無窮小，分量為 (du, dv)，它就成了線元素 ds^2 = E du^2 + 2F du dv + G dv^2：曲面上一個微小位移的長度平方。這條公式就是第一基本形式。它是曲面在告訴你，在每一點、每一方向，一個座標變動 (du, dv) 究竟翻譯成多少真實距離。
the first fundamental form E = x_u . x_u F = x_u . x_v G = x_v . x_v length of a tangent step w = a x_u + b x_v : |w|^2 = E a^2 + 2F ab + G b^2 the line element (tiny displacement (du, dv)) : ds^2 = E du^2 + 2F du dv + G dv^2
一個實例：單位球面
讓我們在一個你可以握在手裡的曲面上把這件事弄具體。用緯度與經度參數化單位球面：x(u, v) = (sin u cos v, sin u sin v, cos u)，其中 u 是從北極往下的角（極角），v 是繞一圈的角（經度）。u-曲線是經線，v-曲線是緯線圈。微分得 x_u = (cos u cos v, cos u sin v, −sin u) 與 x_v = (−sin u sin v, sin u cos v, 0)。把三個點積稍作計算，便得 E = 1、F = 0、G = sin^2 u。
讀一讀這些數在說什麼。E = 1 意味沿 u 走一步——沿經線移動——的真實長度等於它的座標變動，這沒錯：u 本就是一個角，而在單位球面上沿經線的弧長等於所張的角。F = 0 意味經線與緯線圈以直角相交，這你在任何地球儀上都看得到。而 G = sin^2 u 才是有趣的：一步經度的真實長度取決於你在哪裡。靠近赤道（u = pi/2）時 sin u = 1，所以經度步伐是滿尺寸的；靠近北極（u 接近 0）時 sin u 縮向 0，於是 v 整整 360 度的變動只描出一個越來越小的圈。正是這一個因子 sin^2 u，才使得經線彼此擠靠、在兩極相會。
第一基本形式讓你能算出什麼
一旦你握有 E、F、G，你就能量度一個曲面居民所能量度的一切——而從不需要離開曲面。曲面上一條曲線的長度：把它的 (u(t), v(t)) 餵進 ds^2，再積分速率，正是曲線那一階的弧長積分，如今從 E、F、G 讀出度量。兩個切方向之間的角度：用 E、F、G 取代普通點積來算它們的內積，再讀出 cos theta。還有面積：一個 du 乘 dv 的微小座標矩形，映到曲面上一個面積為 |x_u x x_v| du dv 的微小平行四邊形，而一條乾淨的恆等式把它化為根號 (EG − F^2) du dv。所以曲面面積就是根號 (EG − F^2) 在參數區域上的積分。
- 把區塊參數化為 x(u, v)，以偏微分算出兩個切向量 x_u 與 x_v；確認它是正則曲面（x_u x x_v 永不為零）。
- 組出三個點積 E = x_u . x_u、F = x_u . x_v、G = x_v . x_v——這就是第一基本形式。
- 藉由沿曲線積分 ds^2 = E du^2 + 2F du dv + G dv^2 得到曲面曲線的長度；由 E、F、G 的內積得到方向之間的角度。
- 藉由把根號 (EG − F^2) 在參數區域上積分得到面積——這是參數化的局部伸縮因子。
留意這一切之中那個深刻的字眼：內在。上述每一個量——長度、角度、面積，以及很快會出現的最直路徑、測地線——都只由 E、F、G 算出，從不取決於曲面碰巧如何坐落在周圍空間中。一個被禁錮在曲面上、永遠無法窺見第三維的二維生物，仍能把它們全部量出。這就是外在與內在之分，先前在曲線那裡初見，如今銳化為曲面幾何的核心主題：第一基本形式是曲面的內在世界，是它無論被怎樣彎進空間都擁有的幾何。
這通向何方
該誠實畫下的界線是這樣：第一基本形式捕捉了曲面上的量度，卻還沒捕捉曲面在空間中如何彎曲。一張平坦的紙，與那同一張紙捲成的圓柱，有完全相同的第一基本形式——捲紙不必拉伸，所以一切內在的距離與角度都被保住——即便一個是平的、一個明顯彎曲。所以單憑 E、F、G 看不出平與捲的差別。要偵測彎曲，我們將需要第二台機器，第二基本形式，它看的是當你移動時曲面的法線方向如何傾斜——而那正是下一篇導引、關於主曲率的主題。
然而——這正是這一階其餘部分賴以生存的火花——第一基本形式比那張紙的例子所暗示的更有力。高斯那驚人的絕妙定理將揭示：有一種特定的彎曲量度，高斯曲率 K，竟能只從 E、F、G 算出，儘管它看起來該要曲面如何坐落於空間才行。這就是為何一個平面國的居民真的能從內部偵測曲率，為何球面的地圖必定扭曲，也為何這張不起眼的三點積之表是前方一切的種子，一路通到高斯—博內定理，在那裡曲率與拓樸握手言歡。完整的證明還在梯子上幾篇之外；你在這裡建起的，是它們將共同使用的那套語言。