為何有兩種形狀值得獨佔一頁
到現在，你能拿任一直角三角形、已知兩邊，再用上一篇的畢氏定理 a^2 + b^2 = c^2 算出第三邊。那永遠管用，但有兩種特定的直角三角形出現得太頻繁——在正方形裡、在正三角形裡、在每一副製圖三角板裡——以致我們一次背熟它們的邊長比值，從此免去算術。這就是特殊直角三角形，而使它們特殊的訣竅，正是貫穿本段的縮放概念：角一旦固定，邊長比就被凍結了。
底下就是引擎，而它值得大聲說出來，因為它正是「背下來」之所以合法的理由。任兩個共有相同銳角的直角三角形都是相似三角形——依本段第二篇的 AA 判定法，一個直角加上一個相符的銳角已是兩個相等的角，第三個角便被逼出。相似三角形共用同一個縮放比，所以它們的對應邊都成相同的比。這表示一個指甲大小的 30-60-90 三角形，與一棟建築大小的同類，邊長比完全相同。比只需學一次，就適用於這一族的每一個成員。
45-45-90：半個正方形
先從比較親切的那個下手。取一個邊長為 1 的正方形，沿對角線切開。你得到兩個直角三角形，各有一個直角與兩個 45 度角——這就是 45-45-90 三角形。兩條短邊（兩股）是正方形的邊，長度都是 1，而且彼此相等，這並非巧合：相等的股對著相等的角，正是三角形那段的等腰三角形定理。對角線是斜邊，畢氏定理直接把它交出來。
畢氏定理給出 股^2 + 股^2 = 斜邊^2，故 1^2 + 1^2 = 2 = 斜邊^2，斜邊便是 sqrt(2)。於是整個 45-45-90 族都落在 股 : 股 : 斜邊 = 1 : 1 : sqrt(2) 這個比上，要用它只需縮放：對任一股 x，斜邊就是 x*sqrt(2)。若一股是 5，斜邊就是 5*sqrt(2)。反向走則需小心一步：若斜邊是 10，則 股*sqrt(2) = 10，故股是 10/sqrt(2)，整理根式後為 5*sqrt(2)。
sqrt(2) 這個數約等於 1.414，而且是無理數——一個真正無窮、不循環的小數——這悄悄提醒我們：一個整齊的單位正方形，其對角線根本不是個整齊的數。古希臘人對此深感不安，因為這意味著正方形的邊與對角線無論用多細的尺，都找不到一個共同的度量單位。這個 45-45-90 是我們要背的兩個特殊直角三角形中的第一個；第二個來自一個三角形，而非正方形。
30-60-90：半個正三角形
第二個特殊三角形來自把正三角形對半切開。取一個每邊為 2、每角 60 度的正三角形，自頂點向底邊中點作垂線。這條高把圖形分成兩個一模一樣的直角三角形——由三角形內角和保證三角為 30、60、90 度。底邊原為 2，被平分為 1，即短股。傾斜的那一邊原封不動，仍是 2，即斜邊。只有長股（那條高）未知，畢氏定理把它補上。
30-60-90 (half of an equilateral triangle, side 2)
short^2 + long^2 = hyp^2
1^2 + long^2 = 2^2
long^2 = 4 - 1 = 3
long = sqrt(3)
side ratio short : long : hyp = 1 : sqrt(3) : 2
(opposite 30 : opposite 60 : opposite 90)於是 30-60-90 族落在 1 : sqrt(3) : 2，而人們最常忘的是排序。最小的邊永遠對著最小的角（30 度），中間的邊對 60 度，斜邊對直角——這是每個三角形都成立的法則，但趕時間時很容易看錯。sqrt(3) 約為 1.732，所以短股為 4 的 30-60-90，長股是 4*sqrt(3)、斜邊是 8；斜邊為 10 的，短股是 5（斜邊的一半）、長股是 5*sqrt(3)。注意短股永遠恰是斜邊的一半——這個好記的定錨點，直接來自那張正三角形的圖。
整數三元組：當畢氏定理算出整數
特殊三角形在角度上乾淨，卻在邊長上無理。畢氏三元組做的是相反的交易：邊長乾淨，角度彆扭。一組畢氏三元組是三個整數 a、b、c 滿足 a^2 + b^2 = c^2——三個確實構成直角三角形的整數。最有名的是 3、4、5：因為 9 + 16 = 25，邊長為 3、4、5 的三角形有一個完美的直角，到處都沒有根號。接下來幾組是 5、12、13（25 + 144 = 169）與 8、15、17（64 + 225 = 289）。
現在縮放再度登場，這正是單一個三元組為何如此值錢的真正理由。把 3、4、5 的每一邊乘上同一個數，你就得到另一個直角三角形——6、8、10 或 9、12、15 或 30、40、50——每一個都與原來的相似，縮放比為 2、3 或 10。於是一組基本三元組（沒有公因數可約的那種）便孕育出一整個無窮的族。當題目給你一個兩邊為 6 與 8 的直角三角形，你能一眼看出「這是 3-4-5 的兩倍」，立刻寫下斜邊 10，無須平方。識別三元組，是整個幾何學中最省時的習慣之一。
實際運用——以及逆定理
還有一招讓三元組加倍有用，而它回扣到上一篇。畢氏定理的逆定理說：若三邊恰好滿足 a^2 + b^2 = c^2，則該三角形必為直角三角形，直角對著最長邊。於是三元組不只描述你已有的直角三角形——它們還讓你檢驗一個三角形是否為直角。給我一個三邊為 9、12、15 的三角形：我核 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 = 15^2，便斷定它有一個直角，無須量角器。
- 一個 30-60-90 三角形斜邊為 14。短股對著 30 度角，永遠是斜邊的一半，故短股 = 7。
- 長股對著 60 度，依 1 : sqrt(3) : 2 的比相對於短股，故長股 = 7*sqrt(3)，約 12.1。
- 另一個三角形邊長為 7、24、25。將其平方：7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625，而 25^2 = 625。
- 因為 7^2 + 24^2 = 25^2，逆定理說此三角形為直角三角形——而 7-24-25 本身就是一組值得記住的基本畢氏三元組。
退一步，看清整段的形狀。你從比與比例起步，學到相等的角逼出相似三角形，並見到平行截線比例定理與幾何平均由此生長。畢氏定理給了你直角三角形的關係式；本篇把它兌換成兩個背下來的形狀，以及一族整數三角形，全靠縮放維繫在一起。同一個主題——固定角、凍結比、再縮放到任意大小——正是下一段帶進三角學的核心概念；在那裡，這些比值會得到正弦、餘弦這樣的名字，並開始度量整個世界。