定理究竟在說什麼
取一個有一個直角的三角形。把相交於直角的兩條短邊叫做股，長度為 a 與 b；把正對直角的那條邊——它永遠最長——叫做斜邊，長度為 c。畢氏定理對這三個長度作出一項明確主張：a^2 + b^2 = c^2。架在斜邊上的正方形，面積恰好等於架在兩股上的兩個正方形面積之和。
請注意，這是一句關於面積、卻打扮成關於長度的陳述。a^2 不只是抽象的「a 乘以自己」——它是一個實實在在、邊長為股 a 的正方形面積。所以這個定理是一座天平：左盤放一個大正方形的面積，右盤放兩個小正方形的面積，兩盤永遠持平。這幅圖像值得記牢，因為那上百種證明，多半其實是喬裝過的面積記帳論證。
從相似三角形長出來的證明
在所有證明裡，屬於本段的這一個，用的是你上一篇築起的工具。從直角三角形 ABC 出發，直角在 C，從 C 向斜邊 AB 作垂線，垂足為 H。這一條線把大三角形劈成兩個較小的直角三角形，三角形 ACH 與三角形 CBH——而令人意外、也是你在斜邊上的高關係裡證過的事實是：兩個小三角形都與整個三角形相似，彼此也相似。
為什麼相似？由 AA 相似：三角形 ACH 與大三角形共用角 A，又在 H 處有自己的直角，於是兩角相符，兩三角形相似。同樣的論證透過共用的角 B，把三角形 CBH 配上大三角形。現在把相似帶來的比例讀出來。原三角形的每一條股，原來都是整條斜邊與最靠近那股的斜邊段之間的幾何平均。
Right triangle ABC, right angle at C, altitude CH to hypotenuse AB. Let c = |AB|, and split it as |AH| = p, |HB| = q, so p + q = c. Leg b = |AC| is the geometric mean of c and p : b^2 = c * p Leg a = |CB| is the geometric mean of c and q : a^2 = c * q Add the two: a^2 + b^2 = c*q + c*p = c*(p + q) = c * c = c^2.
看最後那一行。兩條股的平方各是斜邊的一段乘以整條斜邊，相加時兩段 p 與 q 又併回完整長度 c。整個定理坍縮成一行誠實的代數——不必巧妙地搬動紙正方形，只需相似與加法。這正是我們把它擺在這裡的原因：畢氏定理不是硬栓在幾何上的另一樁奇蹟，它是當其中一個角為直角時，相似三角形所說的話。
拼湊證明，以及為何會有上百種
這裡有一個風味完全不同、也是多數人最先遇到的第二個證明。取四份股為 a 與 b 的這個直角三角形。把它們排進一個邊長為 (a + b) 的大正方形裡，讓斜邊朝內——它們會在中央框出一個邊長為 c 的傾斜正方形。現在把同樣四個三角形挪成另一種排法，仍裝在同一個大正方形內，這次它們留下兩個方洞，邊長分別為 a 與 b。同一個大正方形、移走同樣四個三角形：剩下的面積必然相等。於是 c^2 = a^2 + b^2，直接從那些洞讀出來。
這兩個證明感覺毫不相像——一個是純粹的比例，另一個是剪拼挪移的面積記帳——卻都落在 a^2 + b^2 = c^2 上。這正是這個定理之所以以「有上百種證明」聞名的真實原因（1940 年一部彙編收了 370 個）。一句把長度、面積、相似與直角綁在一起的陳述，可以從任一方向抵達。連年輕的詹姆斯·加菲爾德（後來的美國總統）都用一個梯形發表了自己的證明。證明之多，是這個結果地位何等核心的印記，而非對它有任何懷疑。
兩個方向都用：逆定理與整數組
一個定理與它的逆定理是不同的主張，而畢氏定理有個好用的逆定理。正向說：直角蘊涵 a^2 + b^2 = c^2。逆定理反過來走：若三個邊長恰好滿足 a^2 + b^2 = c^2，則這個三角形必定是直角三角形，且直角正對最長邊。這確實是另一個需要自己證明的事實，不是把原定理倒著讀——也正是它讓這個定理成為直角的一項檢驗，而不只是直角的後果。
這個逆定理正是木匠與建築工「3-4-5」訣竅背後的祕密。因為 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2，邊長 3、4、5 的三角形保證是直角——所以你只憑一條打了結的繩子，就能在工地上拉出一個完美的方角。像這樣的整數邊組稱為畢氏三元數；5-12-13 與 8-15-17 是另外兩組值得一眼認出的，而任何放大的副本如 6-8-10 也照樣管用。
- 找出最長邊，把它的長度叫做 c。若有直角，必定正對這條邊。
- 由兩條較短邊算出 a^2 + b^2，再另外算出 c^2。
- 若 a^2 + b^2 = c^2 恰好相等，則三角形為直角（逆定理）。
- 若 a^2 + b^2 > c^2，正對 c 的角為銳角；若 a^2 + b^2 < c^2，則為鈍角。
最後那一步是個低調的紅利：同樣的比較不只偵測直角，還能把三角形分類為銳角或鈍角，因為它無非是餘弦定理在告訴你 cos(C) 的正負號。所以拿 a^2 + b^2 與 c^2 相比，就是判別最大角性質的一個單一、廉價的診斷。
定理接下來帶你去哪裡
畢氏定理是那種觸角不斷延伸的罕見結果之一。平面上兩點間的距離公式，不過是把定理用在水平與垂直的間距上：直線距離正是一個直角三角形的斜邊，而它的兩股就是那兩段間距。把它撐進空間，你就得到三維中的距離；再進一步抽象，a^2 + b^2 = c^2 就成了任意維度中長度的定義本身。那個小小的直角三角形，藏在每一次「兩物相距多遠」的量度裡。
它也直接餵養上一段等著你的三角學。畢氏恆等式 sin^2 theta + cos^2 theta = 1，正是把畢氏定理用在半徑為 1 的圓內一個直角三角形上，並把兩股改名為 sin theta 與 cos theta。不過下一篇仍停在這裡，把定理用在兩個格外乾淨的三角形上——30-60-90 與 45-45-90——你終將把它們的邊長比記得滾瓜爛熟，連同把整個圖形放大或縮小時這些比例如何表現。