邊分割定理與幾何平均

一條尊重比例的線

在前兩篇指南裡，你掙得了一個強而有力的捷徑：依AA 判準，兩個有兩組對應角相等的三角形便相似，而相似三角形免費奉送你對應邊的相等比例。邊分割定理正是當你把這個捷徑對準單一個三角形、切它一刀時所發生的事。取 triangle ABC，畫一條橫越它的線，與邊 AB 交於點 D、與邊 AC 交於點 E，且 DE 平行於第三邊 BC。論斷很乾淨：這條平行線把它所穿過的兩邊切成相同的比，|AD|/|DB| = |AE|/|EC|。

把它具體想成這樣。一面三角旗上縫了一道水平的接縫，平行於底邊。邊分割定理說：若那道接縫落在左邊由下往上三分之一的位置，它也落在右邊由下往上三分之一的位置。不是相同的距離——兩邊的長度可能不同——而是相同的比例。這條平行線拒絕偏心；它在一邊刻出什麼比例，就在另一邊照抄一份。

它為什麼成立——以及一個眼熟的特例

一旦你看出對的那一對三角形，證明只有兩行長。因為 DE 平行於 BC，截線 AB 造出相等的同位角：m(angle ADE) = m(angle ABC)。三角形 ADE 與 ABC 又共用 angle A。兩組角相等正好是 AA 判準，所以 triangle ADE 相似於 triangle ABC。相似給出 |AD|/|AB| = |AE|/|AC|。一行比例代數就把這個部分對整體的相等變成部分對部分的形式，邊分割定理便證畢。

有一個特例，你早已用別的名字認識它。設那條平行線恰好把每邊都切成一半，於是 D 與 E 是中點。那麼 |AD|/|DB| = 1，而 DE 就是中線段（中位線）。邊分割定理（以逆向跑）確認 DE 必平行於 BC，而 1/2 的相似比逼出 |DE| = |BC|/2。中位線定理不是另一件要背的事實——它就是邊分割定理被逮在對稱、正中途那一刻的樣子。

反過來跑，以及角平分線的轉折

和這根橫木上每一條好定理一樣，邊分割定理有個好用的逆敘述。若一條線穿過三角形的兩邊，並以相同的比把它們分割——|AD|/|DB| = |AE|/|EC|——那麼這條線必平行於第三邊。正是這一點讓定理能建造東西、而不只是描述東西：它是「用直尺圓規把一線段分成 n 等分」背後的引擎，你在一條輔助射線上量出等長的步子，再讓平行線把這等距複製回你的目標線段上。

有個近親值得提個醒，免得你過度推廣。三角形的角平分線——從一頂點出發、把該頂點的角一分為二的線——也把對邊分成一個比，但不是你也許會猜的 1:1，也不是靠平行於什麼東西。角平分線定理說，從 A 出發的平分線把邊 BC 分成另外兩邊的比：|BD|/|DC| = |AB|/|AC|。它和邊分割定理是真正不同的機制；別讓這種家族相似騙你去期待相等的兩半。

幾何平均：一個喬裝成乘法的長度

現在來見本篇的第二位主角。兩個正數 p 與 q 的幾何平均是滿足 g/p = q/g 的數 g——也就是 g^2 = p q，故 g = sqrt(p q)。把它和普通的（算術）平均 (p + q)/2 相比，後者落在加法上的正中央；幾何平均則落在乘法上的正中央。用比例那篇的內項與外項的話來說，g 就是讓 p : g = g : q 成為一個真比例的值——那個能同時充當兩個內項的單一數字。

幾何為什麼在乎？因為有一個美麗的地方，這個確切的關係竟是由線段砌出來的。取一個直角在 C 的直角三角形，從 C 向斜邊筆直作高，與斜邊交於垂足 H。這條高把斜邊分成兩段。斜邊上的高的關係說，那裡正好坐著三個幾何平均：高 |CH| 是斜邊兩段的幾何平均，而每一條股則是整條斜邊與其相鄰那一段的幾何平均。

          C
         /|\
        / | \        right angle at C
     b /  |h \ a      h = altitude CH
      /   |   \
     /____|____\
    A  m  H  n  B     hypotenuse split: |AH|=m, |HB|=n

   h = sqrt(m * n)        (altitude is the mean of m, n)
   b = sqrt((m+n) * m)    (leg = mean of whole & near piece)
   a = sqrt((m+n) * n)

斜邊上的高一口氣製造出三個幾何平均。

理由又是純粹的相似，而且值得看一次。這條高把大直角三角形切成兩個較小的直角三角形，而三者——原來的那個與兩個小塊——兩兩依 AA 彼此相似（每個小塊與大三角形共用一個銳角，且各自有自己的直角）。從這些相似三角形讀出相等的比，正是在三種形式裡分別產生 g^2 = p q 的東西。所以幾何平均不是外加在幾何上的數值奇談；它就是相似直角三角形在你寫下其邊比時所說的話。

一個算例，以及它指向何方

讓我們把它化成數字。一個直角三角形的直角在 C，從 C 作的高與斜邊相交，使兩段量得 |AH| = 4 與 |HB| = 9。求高 h 與兩條股。

高是兩段的幾何平均：h = sqrt(4 * 9) = sqrt(36) = 6。
整條斜邊是 4 + 9 = 13。靠近長度 4 那段的股是 b = sqrt(13 * 4) = sqrt(52) = 2 sqrt(13)。
靠近長度 9 那段的股是 a = sqrt(13 * 9) = sqrt(117) = 3 sqrt(13)。
用兩股檢驗一下：a^2 + b^2 = 117 + 52 = 169 = 13^2 = 斜邊^2——它與你下一篇將正面遇上的那個關係吻合。

最後那個檢驗並非巧合，它正是走出本篇的那道門。斜邊上的高這幅圖，連同它三個層層相套的相似三角形，是通往全幾何學最著名命題——畢氏定理，a^2 + b^2 = c^2——最乾淨的路徑之一。把兩條股的關係 b^2 = (m+n)m 與 a^2 = (m+n)n 相加，右邊就塌成 (m+n)^2，即斜邊的平方。我們不會把這條推導當成唯一的一條——下一篇會讓你看到畢氏定理有上百種證明——但你方才認識的幾何平均，竟已悄悄是其中之一，這實在令人滿足。