AA、SAS、SSS：證明三角形相似

我們想避免去檢查的東西

從前一篇指南裡，你已經帶著這個定義：兩個三角形相似，是當它們的三個角成對相配而且三邊成比例——同樣的形狀，大小可以不同，由單一個比例係數 k 聯繫起來。展開來寫，triangle ABC 與 triangle DEF 相似要求六件事同時成立：三組角相等與三組邊的比例。這是一大堆要蒐集的證據。本篇指南的整個重點，就是你幾乎從不需要去蒐集它。

原因和你在下一級橫木遇過的事如出一轍，就是全等。在那裡你學到，你不必驗證全部六項測量（三邊三角）就能證明兩個三角形完全相同——三項精選的、依正確樣式排好的資料，就把其餘的鎖死了。相似有它自己版本的同一個奇蹟。三角形是一台小小的剛性機器：固定它夠多的部分，剩下的部分就再無自由度。我們的任務，是找出能釘住三角形形狀——它的角與邊比——卻讓它整體大小自由漂浮的那些最小證據樣式。

AA：兩個角就夠了

頭條捷徑是AA 相似：若一個三角形的兩個角等於另一個三角形的兩個角，則兩三角形相似。不是三個角——是兩個。原因是你在三角形那級橫木證過的一個事實，三角形內角和：三角形的內角加起來是 180 度。若三個角中有兩個跨兩個三角形相配，第三個就被逼定了，因為它不過是 180 減去另外兩個。兩個角偷偷地把第三個角免費奉送給你。

但三個角全相配只給你相等的角——而相似還要求邊成比例。為什麼相等的角會把邊比一起拖過來？想像兩個角完全相同的三角形，把小的擺進大的裡面，共用一個頂點，一條邊沿著共同方向。小三角形的第三邊平行於大三角形的第三邊（同位角相等，出自上一級橫木的截線事實）。那條平行的切割正是「側分」的情形——平行線把它所穿過的兩邊切成相同的比，而那個共同的比就是比例係數。所以相等的角不只是長得像邊成比例；它們是製造出邊成比例。

SAS 與 SSS：讓邊來發言

有時你手上有的是長度，不是角。另外兩條判準，歸在SAS 與 SSS 相似之下，讓邊來扛起證明。SSS 相似：若三對對應邊都成相同的比，則兩三角形相似——相配的角隨後就免費跟來。SAS 相似：若兩對邊成相同的比而且夾在這兩邊之間的角相等，則兩三角形相似。注意那個謹慎的字之間：相等的角必須是窩在兩條成比例邊之間的那個角，即夾角，正如下一級橫木的全等版本一樣。

triangle ABC  ~  triangle DEF  (proving similar)

SSS:  AB/DE = BC/EF = CA/FD          -> similar, ratio = k

SAS:  AB/DE = AC/DF                  (two sides in ratio)
      and m(angle A) = m(angle D)    (the INCLUDED angle)
                                     -> similar

AA:   m(angle A) = m(angle D)
      and m(angle B) = m(angle E)    -> similar (k from any side pair)

三條相似判準並排。波浪號 ~ 讀作「相似於」；SAS 中的夾角坐落在兩條指名邊之間。

一個小算例把 SAS 弄具體。triangle ABC 有 AB = 4、AC = 6，且 m(angle A) = 50 度。triangle DEF 有 DE = 6、DF = 9，且 m(angle D) = 50 度。檢查比值：AB/DE = 4/6 = 2/3，AC/DF = 6/9 = 2/3——相等。夾角 angle A 與 angle D 都是 50 度。SAS 相似觸發：兩三角形相似，比例係數 2/3，而你現在也知道第三邊比 BC/EF = 2/3，外加 m(angle B) = m(angle E) 與 m(angle C) = m(angle F)，全都不必去量。

陷阱：SSA，以及把順序搞錯

對哪些東西行不通要誠實，因為失敗之處正是初學者掉分的地方。有兩個「非判準」值得提出警告，兩者都是真判準的親戚。第一，AAA 對比 AA：「三個角全相等」聽起來比 AA 強，而它確實為真——但它並不是一個獨立、更好的工具，因為 AA 已經逼定了第三個角。真正該警惕的旁親住在全等那一側：知道三個角相等能證相似，卻絕證不出全等，因為它對大小隻字未提。AAA 是相似判準，不是全等判準——別把它越權提拔。

第二個、也更尖銳的，是 SSA——兩邊與一個非夾角，即不夾在兩邊之間的那個角。這就是那條著名的、壞掉的判準。當兩邊固定、而角擺在旁邊而非夾在中間時，第三邊有時能擺盪到兩個不同的位置，造出兩個確實不同的三角形。所以 SSA 釘不住形狀，也沒有 SSA 相似規則。補救之道與 SAS 要求的紀律相同：你引用的角，必須坐在你所用比值的那兩邊之間。坐錯位子的角什麼也證不了。

把一個證明拼起來

底下是一個真正的相似證明如何流動，用最常見的佈局：兩個共用一角的三角形，配上一條橫切的線。設在 triangle ABC 中，過 AB 與 AC 上的點畫一條平行於 BC 的線，交 AB 於 P、交 AC 於 Q。我們主張 triangle APQ 相似於 triangle ABC。在 A 處共用的角，免費送上一組角的相等。那條平行線使 angle APQ 等於 angle ABC（同位角）。這就是兩組角的相等——AA 觸發，兩三角形相似。完全不需要任何長度。

認出候選的三角形，並依對應順序寫下相似：triangle APQ ~ triangle ABC（使 P 對 B、Q 對 C）。
蒐集角的相等：angle A 為共用，且因 PQ || BC 把截線 AB 切出相等的同位角，故 angle APQ = angle ABC。
兩組角相配，故依 AA 相似，兩三角形相似——到此為止，不需任何邊。
把後果兌現：對應邊現在成比例，AP/AB = AQ/AC = PQ/BC，全等於同一個比例係數 k。

最後那一行才是真正的回報，也正是緊接著的下一篇指南所要抓住的。比例 AP/AB = AQ/AC，從這個相似誕生出來，正是「側分定理」的化身，而同一套機器也交付出潛伏在直角三角形高線裡的「幾何平均」。所以別把 AA、SAS、SSS 當成三件要背的事實，而要把它們當成通往同一個極其有用房間的三扇門——一旦兩個三角形被認定相似，你可能想要的每一個比值，瞬間全歸你所有。