比是一種比較，不是一種度量
你已經會用尺規公設量單一線段：把它放下，讀出長度，例如 |AB| = 6。比做的事更安靜、卻更有力——它把兩個這樣的長度並排，只問它們如何相比。若 |AB| = 6 而 |CD| = 9，則 AB 對 CD 的比是 6 比 9，寫成 6/9，化到最簡是 2/3。實際的公分數蒸發了，留下來的是那層關係，而這層關係正是本段的全部主題。
三條安靜的規則讓比保持誠實。第一，兩個量必須以相同單位度量——6 公分對 9 公分得 2/3，但 6 公分對 9 公尺則不然。第二，順序有意義：AB 對 CD 的比是 6/9，而 CD 對 AB 是 9/6，兩者並不相同。第三，比只是一個數，本身不帶單位；上方的公分與下方的公分相消，留下純粹的 2/3。正是這種無單位的特質，使得一個比可以拿桌面去比屋頂。
比例是兩個彼此相符的比
把兩個比令為相等，你就有了一個比例：a/b = c/d。讀作「a 比 b 等於 c 比 d」。相似圖形的整套引擎，到頭來不過是一堆比例，所以把一項工具練到爛熟很值得——那就是交叉相乘。由 a/b = c/d 兩邊同乘 b 與 d，清掉分母，得到 a*d = b*c。沒有任何玄妙之處；你只是把兩次除法一次解開而已。
這四個數有值得記住的古老名稱，因為外項與內項的說法在每本教科書中都會出現。寫成 a/b = c/d，最外側的兩個 a 與 d 是外項；內側的兩個 b 與 c 是內項。於是交叉相乘可化作一句好記的話：外項之積等於內項之積，a*d = b*c。這一行，就是判斷一個比例是否成立的檢驗。
- 已知 4/6 = 6/x，要找未知長度 x。先辨認外項與內項：外項是 4 與 x，內項是 6 與 6。
- 令外項之積等於內項之積：4 * x = 6 * 6，即 4x = 36。
- 兩邊同除以 4 以解出 x：x = 9。比例 4/6 = 6/9 的確成立，因為兩個比都化簡為 2/3。
彎折一個比例而不弄壞它
比例比看起來更耐折：你能用好幾種方式重排它而它依然成立，當題目把比給得上下顛倒、或與你要的方向相反時，這極為好用。這些重排就是比例的性質，而每一條都不過是交叉相乘換了件外衣。知道它們存在，可省去你把同一條方程重新推導四遍。
Start: a/b = c/d (means b,c ; extremes a,d) Invert: b/a = d/c flip both sides Swap means: a/c = b/d d/c -> trade the inner terms Add one: (a+b)/b = (c+d)/d add 1 to each side All four say the same thing as a*d = b*c.
最後一行的「加一」手法值得多看一眼，因為它正是兩篇之後你會遇到的一個定理的祕密。由 a/b = c/d 走到 (a+b)/b = (c+d)/d 看似耍花招，其實光明正大：兩邊各加 1，把每個 1 寫成 b/b 與 d/d，再合併即可。當它被接到一條橫切三角形的直線上時，就化身為平行截線比例定理——所以這點小代數是默默承重的，並非裝飾。
「相似」實際上是什麼意思
現在我們能精確地說了。兩個圖形相似，當其中一個是另一個忠實的縮放副本——同形，但大小可不同。「同形」不是一種感覺；它拆成兩項確切的要求。第一，對應角相等。第二，對應邊成比例，全都共用同一個比值。一張照片與它的放大版是相似的；一張照片與哈哈鏡裡被拉長的影像則不是，因為拉伸保住了角，卻毀掉了邊的比。
那個共用的比有個名字：縮放比，通常記作 k。若三角形 ABC 相似於三角形 DEF，縮放比為 k，則 |DE| = k*|AB|、|EF| = k*|BC|、|DF| = k*|CA|——副本的每一邊都是原圖對應邊的 k 倍。當 k = 2 時，副本逐邊長一倍；當 k = 1/3 時，它是原來的三分之一；而當 k = 1 時，兩圖形不只是相似，更是全等，既同形又同大。全等——來自上一段——不過就是縮放比 k = 1 的相似而已。
為何這值得費這番功夫
相似是度量「不可度量之物」的工具。一根 2 公尺高的桿子投下 3 公尺的影子；同一刻，一棵樹投下 30 公尺的影子。陽光以相同角度射在兩者上，所以「桿與影」的三角形相似於「樹與影」的三角形，而高度與影子成相同的比：樹/2 = 30/3，得出樹高 20 公尺——人沒離開地面就量到了。這就是間接測量，正是測量員與古希臘人估算峭壁、河寬，乃至到月球距離的方法。
在你急著上手之前，給一個誠實的提醒。把長度縮放 k 倍，並不會把每樣東西都縮放 k 倍。面積按 k^2 縮放，體積按 k^3 縮放——把一個圖形的邊長加倍，面積變為四倍，而體積增為八倍。這就是平方立方律，也是為何螞蟻能扛起自身數倍重量，而大象卻不能單純地由小象放大而來。我們會把長度縮放與面積縮放牢牢分開；把兩者混為一談，正是相似題裡最常見的單一錯誤。
如今手握比、比例、縮放比，以及相似三角形的精確定義，你已具備本段其餘篇章所需的詞彙。緊接的下一篇會問一個犀利的問題：我們真的每次都得檢查三個角與三條邊嗎，還是有捷徑？答案——只需出奇地少的資訊就能逼出完整的相似——正是這套語言開始真正帶來紅利之處。