為何要第四個座標，又為何它與眾不同
本階打造的一切都住在一個光滑流形上：一個近看像平坦 R^n、由重疊的圖卡縫合而成、在每一點都帶有一個由速度箭頭組成之切空間的空間。接著我們在其上鋪設一個黎曼度量以量度長度與角度，長出列維–奇維塔聯絡來比較鄰近的切空間，最後把黎曼曲率張量讀作：繞一個微小迴圈作平行移動時，無法讓向量原封不動地回到原處的那份失敗。相對論把這整套機器搬來，套用在一個特定的流形上：那個由事件構成、四維的織物，名叫時空。
時空中的一點不只是一個地方，而是一個事件——一個何處與一個何時合在一起，用四個數 (t, x, y, z) 寫下。所以這流形中的單獨一點，意思像是「桌角，在三點鐘」。一條穿過時空的曲線，就是一個粒子的整段歷史：不是它一次佔據的路徑，而是它的傳記，一個事件接一個事件地串起。這條曲線叫做粒子的世界線，而此處整個物理便化作一個問題：一個流形允許哪些世界線。
等效原理：重力感覺起來像幾何
愛因斯坦的第一個立足點，是他稱為「我一生中最快樂的念頭」的一個樸素觀察：自由下落的人感覺不到重力。把一個密封的箱子從懸崖推下，裡頭一切都會飄浮，正如它在遠離任何恆星的深空中那樣。反過來，站在一艘向上加速的無窗火箭裡，你會感到被壓向地板，恰如腳下有一顆行星。這就是等效原理：在局部，在夠小的區域、夠短的時間內，重力與加速度無從分辨。沒有任何侷限於箱內的實驗，能把兩者區分開來。
現在把這句話聽成關於流形的陳述，因為它正是我們在本階一開始就遇見的那句話。光滑流形恰恰是一個在任何夠小的圖卡中看起來平坦的空間——那正是流形的定義。等效原理說，時空正是這樣的東西：在自由下落之箱的那張小圖卡裡，度量看起來就像平凡的平坦（勞侖茲）空間，完全沒有重力。重力在局部是看不見的；它只能顯現於那些平坦小圖卡在一整片區域上如何拼不攏。而鄰近平坦補丁無法相合，一字不差地，就是曲率。
自由下落就是測地線
回想本階稍早講過的測地線：一個流形所允許最直的曲線，那條切向量沿自身平行移動的路徑，一條從不轉向的路線——它由聯絡量度的加速度為零。在球面上測地線是大圓；在平坦空間裡則是尋常直線。一旦你有了這個詞，愛因斯坦的核心提議說起來簡單得令人屏息：自由下落的物體沿著時空的測地線運動。沒有力推它。它只是在滑行，在彎曲流形所擁有「直」的唯一意義下，筆直地滑行。
這化解了物理學中最古老的謎題。伽利略注意到羽毛與砲彈以同樣的速率下落（忽略空氣）——重的與輕的，同一條軌跡。作為一種力，重力得神秘地知道每個物體的質量，並對重的那個多拉一份、份量還恰好補償得剛剛好。作為幾何，謎題蒸發了：一條測地線只依賴物體的起點與起始速度，從不依賴它的質量，正如兩城之間最短的道路並不在乎什麼車輛行駛其上。羽毛與砲彈描出同一條世界線，因為它們在同一個事件以同樣的速度被釋放，而從那裡出發最直的曲線只有一條。
那麼擱在桌上、顯然不在自由下落的蘋果呢？這裡圖像悅人地翻轉過來。靜止的蘋果正被桌子推離它的測地線；木頭向上的法向力是這故事裡唯一真實的力，把它撞離它本想遵循的那條筆直時空路徑。讓桌子消失，蘋果便恢復它自然的測地線——而我們這些站在地面、自己也被地板推離了自身測地線的人，把這叫做「墜落」。感覺像力的那東西，是地板攔住了你；自由下落感覺不到任何東西，因為根本沒有任何事發生在你身上。
物質告訴空間如何彎曲
於是曲率告訴物質如何運動——物體沿測地線走。故事的另一半是什麼造出曲率，答案是物質與能量。我們得拿起完整的黎曼曲率張量——它記錄每一對方向上的彎曲——並把它擠壓成方程式所需的部分。把黎曼張量在方向上取平均，得到里奇曲率，一個較粗的物件，它問：一小球此處釋放、初始靜止的試驗粒子，是否開始縮小體積？里奇曲率為正之處，一團自由下落的塵埃會收縮——而那恰恰是重力所做的事。
愛因斯坦的場方程式，廣義相對論的核心，於是把一個由里奇張量構成的曲率，設成等於每個事件處所存在的物質與能量。物理學家惠勒把這整段雙向對話濃縮成值得背下的一句話。這方程式確實難解——它的完整內容需要遠超本階的機器，我們不會假裝不是如此——但它的形狀正是你已經熟悉的那種局部到整體的節奏：一個描述物質在某點如何堆packed的張量，逐點地決定了流形在那裡必須如何彎曲。
matter / energy at an event curvature at that event
(stress-energy) = (built from Ricci)
"Spacetime tells matter how to move;
matter tells spacetime how to curve." -- John Wheeler
flat space : Riemann tensor = 0 -> no tidal force, no gravity
curved space: Riemann tensor != 0 -> geodesics converge -> gravity
幾何預言了什麼，以及這圖像誠實地止於何處
這不只是個漂亮的重述；它作出了後來證實為真的奇異預言。光也沿測地線行進，所以太陽周圍的彎曲時空會折彎掠過它附近的星光——這在 1919 年的日食中被量到，正是那個讓愛因斯坦一夜成名的結果。在重力井更深處、時空更彎之地，時鐘確實走得更慢；你口袋裡的 GPS 每秒都在修正這一點，否則它會偏差數公里。而一塊彎得夠陡、連光的測地線都逃不出去的區域，就是黑洞——不是空間裡的一個洞，而是一個幾何摺得如此尖銳、以致每一條向前的世界線都指向內部的地方。
留意本階的每件工具如何各得其所。流形是時空；度量（此處為勞侖茲式）設定距離與時間；測地線是自由下落；聯絡是任一張圖卡中感受到的重力牽引；黎曼張量是潮汐力；里奇曲率由物質作為源。連常曲率空間的念頭也回來了：整個宇宙抹平來看，被模型化為一個曲率近乎均勻的時空，這便是同一套幾何如何描述膨脹的宇宙。
對邊界要誠實，因為邊界正是下一座座高山所在。本篇忠實地給了你那個念頭，而非可運轉的機器：真正去解愛因斯坦的方程式，即便只為單顆恆星，也耗去史瓦西在戰時一場著名的計算，而這套廣義理論的證明遠在入門階段之外。廣義相對論也非定論——它至今仍無法與量子力學調和，黑洞正中心或宇宙第一瞬究竟發生何事，仍是真正開放的問題。但你已經掙得的，是真實的：你如今握有那套精確的幾何詞彙，人類最深刻的物理理論之一正是以它寫成的，而你能讀懂它的核心句子，並真心明白其意。