問題所在：你無法在不同點上把箭頭相減
到此為止，你腳下的地面已是一個流形，而在每一點 P 上它都帶著一個切空間——由你能從 P 出發的一切方向構成的平坦向量空間。上一篇導引交給你一個黎曼度量，一個住在每個切空間裡的內積，所以你已經能量度任一支箭頭的長度，以及同一點上任兩支箭頭之間的角度。這已經很多了。但它留下一個出奇基本卻壞掉的運算：你無法把一點的向量和另一點的向量相比較。
在平坦空間裡這太容易，以致我們從不察覺這份禮物。平面上兩支待在不同位置的箭頭？只要把一支滑過去，直到它的尾巴碰上另一支的尾巴再比較——「不轉動地滑移」這個動作是免費的，因為平坦平面的每一個切平面其實偷偷是同一個平面。在彎曲的流形上，這份免費福利蒸發了。球面北極的切空間與赤道的切空間，是真正不同的兩個二維平面，在空間中傾斜的方式不同。沒有一個天生內建的標準辦法，能說哪一支赤道箭頭「等同於」一支給定的極點箭頭。減法——從而向量場的導數——失去了立足之地。
聯絡：一條微分向量場的規則
解法是把那缺失的比較宣告出來，方法是加入一件名為聯絡的新結構。最誠實地說明它做什麼的方式，是透過微分。假設你有一個向量場 Y——在每一點光滑地選定一支箭頭——而你想知道當你沿某方向 v 移動時 Y 如何變化。天真的答案是：取鄰近一點的 Y，減去此處的 Y，除以那一小段距離，再取極限。但我們剛看到，跨點的減法毫無意義。聯絡恰好補上那缺失的成分：一個把 Y 從鄰近點搬回此處、使減法說得通的辦法。其結果寫作 nabla_v Y，即 Y 沿方向 v 的協變導數。
把 nabla_v Y 讀成「當你沿方向 v 踏一步時，箭頭場 Y 那誠實的變化率——來自彎曲座標的虛假打轉已被減掉」。它本身是該點的一個切向量，指向 Y 真正在扭轉與伸縮的方向。一個聯絡，正是一份配方，為每一對（方向 v、向量場 Y）指定這樣的協變導數，並遵守導數該有的自然規則：對方向 v 線性、對 Y 線性、且當你以一個函數縮放 Y 時滿足乘積律——nabla_v (f Y) = (v 作用於 f) Y + f nabla_v Y。這些規則沒得商量；正是它們使 nabla 配得上導數之名。
克氏符號：座標中的聯絡
要算任何東西，我們落進一塊座標區域，帶著座標方向 partial_1, partial_2, ... , partial_n——沿每條座標曲線的基底切向量，正如曲面那一階的 x_u 與 x_v，如今在 n 維中。一旦我們知道聯絡如何沿每個基底方向去微分每個基底場，聯絡就被完全釘住。那一整束數，就是著名的克氏符號，寫作 Gamma^k_ij。定義式很短：partial_j 沿方向 partial_i 的 nabla，等於組合 Gamma^k_ij partial_k（對 k 求和）。
寫開來，nabla_(partial_i) partial_j = sum over k of Gamma^k_ij partial_k——所以 Gamma^k_ij 不過是「第 j 支座標箭頭隨你沿第 i 個方向踏一步時如何變化」在 partial_k 基底下的分量。兩個警告，直說。第一，克氏符號不是某個張量的分量——換座標時它們會多出一個難看的額外項變換，正因為它們的任務就是抵消座標所引入的虛假打轉。在平坦空間用直的笛卡兒座標時，每個 Gamma^k_ij 都是零；在同一個平坦平面上改用極座標，它們就變成非零，儘管什麼都沒彎。所以一個非零的克氏符號並不意味空間是彎的——它可能只意味你的座標網格是彎的。第二，一個光禿的流形容許無窮多個不同的聯絡；在我們要求更多之前，沒有單一「正確」的那一個。
這裡正是度量發揮作用之處。在所有那些候選聯絡之中，恰好一個被兩項合理的要求挑出來：它必須是無撓的（對稱性 Gamma^k_ij = Gamma^k_ji，所以沒有內建的扭轉），以及與度量相容的（它保住度量，所以搬運箭頭時絕不暗中扭曲長度或角度）。黎曼幾何基本定理說，這兩個條件釘出一個唯一的聯絡，即列維-奇維塔聯絡，甚至給出它克氏符號的封閉公式，純粹用度量 g 及其一階導數表示。因此你早已擁有的度量，決定了它自己的微分概念——不需額外的選擇。從此以後，所謂聯絡，就是指這一個。
平行移動：搬運一支箭頭而不讓它轉動
既然我們能微分了，終於可以定義「滑移一支箭頭而不讓它轉動」。取流形中的一條路徑，以及一支沿著它行進的向量。若這向量沿路徑的協變導數在每一瞬間都為零——向量沿路徑自身速度方向的 nabla 等於 0——我們便說它被平行移動。換句話說：相對於聯絡，箭頭根本沒在變；你所見的任何轉動，都只是流形在它底下彎曲，從不是箭頭本身的任何內在自轉。這就是「保持指向不變」在彎曲空間中的替代品——而因為聯絡與度量相容，平行移動讓箭頭的長度固定不變，也保住一同搬運的兩支箭頭之間的角度。
重點來了，它使整個主題值回票價，而最好用地球儀來體會。站在北極，手握一支箭頭，指向——比方說——通過倫敦的那條經線。沿那條經線一路走直下到赤道，全程保持箭頭平行——它仍指向你的經線，如今平躺著指向南方。現在沿赤道走四分之一圈，全程平行移動；整段路上箭頭始終指南。最後沿經線一路走直回北極。你抵達時手握的箭頭，已從你出發時的那一支轉了 90 度——儘管你從未親手扭過它一下。
測地線：盡可能最直的路徑
有了平行移動，我們終於能說清「直」在彎曲流形上是什麼意思，而這定義美在自足。平坦空間中的直線，是那條從不轉彎的路徑——它的速度向量整趟旅程都指向同一方向。把「保持指向不變」翻譯成聯絡的語言，便得到：若一條曲線自己的速度向量沿著它被平行移動，這條曲線就是一條測地線。等價地說，速度沿路徑的協變導數為零——路徑只以流形所迫使的那種無可避免的方式加速，沒有任何它自己額外的側向轉向。一條測地線，是一條按它自己內部的帳目來算、走得完美筆直的路徑。
在座標中展開，速度平行的條件化為測地線方程，一組二階微分方程：曲線的座標加速度，加上一個由它速度構成的克氏符號項，等於零。這個樣子值得看一次，因為它使 Gamma 的角色變得鮮明：在平坦的笛卡兒座標中每個 Gamma 都消失，方程塌成「加速度 = 0」，也就是等速的普通直線——正如你所料。那個克氏符號項，正是把「直」這個概念彎折成適配彎曲空間、或彎曲座標網格的精確修正。
the geodesic equation (curve x^k(t), dot = d/dt)
ddot x^k + sum over i,j of Gamma^k_ij dot x^i dot x^j = 0
flat Cartesian coords: all Gamma = 0 => ddot x^k = 0
=> straight lines at constant speed
the exponential map exp_P(v) : fire a geodesic from P with
initial velocity v, follow it for one unit of time, land here.在慶祝之前，兩個誠實的提醒。測地線是最直的路徑，由協變加速度為零所刻畫；在黎曼流形上，它在鄰近兩點之間也是局部最短的路徑，但僅局部而已。球面上的大圓是測地線，然而從倫敦到東京繞遠的那一段仍是測地線，卻遠非最短路線——最直與全域最短不是同一個主張，把兩者混為一談是常見的失誤。第二，測地線可能半途而止：一個帶有刺孔或邊緣的流形，可能有在有限時間內跑出界的測地線。一個每條測地線都能永遠延伸的流形，稱為測地完備的，這是一個我們必須查驗、絕不能假設的性質。
把它派上用場，以及它通向何方
退一步，看看你建起的這條鏈。度量給你每一點的長度與角度；它製造出自己的列維-奇維塔聯絡，編碼在克氏符號裡；聯絡告訴你如何沿任一路徑平行移動一支箭頭；而一條把自己速度平行移動的路徑就是測地線，彎曲世界的直線。每一環都只由度量鍛成，是內在的，不訴諸流形可能坐落其中的任何空間。指數映射為這幅圖收尾：站在一點 P，選一個切方向 v，朝那方向射出測地線並乘它走一個單位時間，你落腳之處就是exp_P(v)。它把平坦切空間裡的箭頭，轉換成彎曲流形上實際的點——直線旅行被照字面實現。
- 從你座標中的度量 g 出發；由 g 及其一階導數算出列維-奇維塔聯絡的克氏符號 Gamma^k_ij。
- 要沿一條路徑搬運箭頭，解平行移動方程（沿路徑的協變導數 = 0）；箭頭的長度與角度會自動被保住。
- 要找一條測地線，以一個起點與一個初速度，解測地線方程 ddot x^k + Gamma^k_ij dot x^i dot x^j = 0。
- 把一支箭頭沿一個封閉迴圈搬一圈，量它轉著回來的角度——非零的角度就是曲率，也是通往下一篇導引的門。
而這正是通往廣義相對論的路敞開之處，儘管我們在此只指一指那個方向。愛因斯坦的洞見是：重力不是把物體拉離直線的一種力，而是時空本身的曲率——一顆自由墜落的行星或一個光子，只是順著一條測地線，在彎曲幾何所容許的範圍內走得盡可能直。你剛認識的克氏符號，將在那裡以重力場的身分重新登場，而測地線方程成了自由墜落的定律。我們還沒掙得這個主張：它需要曲率張量，下一篇導引的主題，以及時空度量，最後一篇的主題。但那台機器裡的每一個齒輪——聯絡、平行移動、測地線——你如今都已誠實地、由內而外地建好了。