上一篇留下的缺口
在上一篇裡，你建起了一個光滑流形：一個由一塊塊互相重疊的平坦座標區域縫合而成的空間，使得在任一點附近它看起來都像尋常的 R^n，儘管整體上它可以扭轉、自我封閉、或彎曲。那個構造是刻意地樸素的。一個赤裸的流形只在最寬鬆的拓樸意義下知道自己的形狀——哪些點彼此相鄰、哪條路徑能形變成哪條——卻完全不知道任何路徑有多長，也不知道兩個方向之間夾的角是多少。問一個赤裸的流形「從 A 到 B 有多遠？」，它根本無從回答。
這正是曲面那一階從另一側遇到的處境。在那裡，曲面一開始就嵌在空間中，你藉由借用周圍空間的點積——第一基本形式的三個數 E、F、G——來在它上面量度。流形卻沒有周圍空間可借；它不坐落在任何東西之中。所以量度無法從外部繼承，而必須被當成一件新裝備宣告出來，由人手加在光滑結構之上。那件額外的裝備就是黎曼度量。但在我們安裝一把尺之前，得先弄清楚它量度的是什麼：你能移動的那些方向。那就是切空間，我們先把它建起來。
切空間：速度，而非空間中的箭頭
站在流形上一點 p，再問一次曲面那一階的問題：我能朝哪些方向、以什麼速率從這裡出發？在一個嵌入的曲面上，誠實的答案是切平面——一張在 p 親吻曲面的平坦箭頭薄片。切空間，寫作 T_p M，就是這個想法從任何周圍空間中被解放出來的版本。取流形上任一條通過 p 的光滑曲線 gamma(t)，它在 p 處的速度就是一個切向量。把所有這類曲線的速度收集起來，你就得到 T_p M：一個 n 維的平坦向量空間，是流形在 p 處最好的線性近似，是微積分發生的那個小世界。
這裡有個讓流形比曲面更難的概念跳躍，值得放慢腳步。在空間中的曲面上，切向量曾是你看得見的、指向第三維的真實箭頭。在一個抽象流形上，根本沒有第三維可指——箭頭沒有任何外部之處可棲身。所以切向量是被內在地定義的，由它做什麼而非指向何處來界定。最乾淨的定義是：p 處的一個切向量是一個方向導數算子，一台機器，吃進流形上任一光滑函數 f，回傳它在那個方向上、在 p 處的變化率。一個速度 (d/dt) gamma(t) 依連鎖律作用在 f 上，給出 (d/dt) f(gamma(t))——當你沿曲線移動時 f 變化的速率。速度與方向導數是同一物件的兩張臉。
在任一座標卡中，這變得極為具體。若卡在 p 附近給出座標 x^1, ..., x^n，那麼 n 個偏導數算子 d/dx^1, ..., d/dx^n 構成 T_p M 的一組基底。每個切向量都是一個組合 v = a^1 (d/dx^1) + ... + a^n (d/dx^n)，而那些數 (a^1, ..., a^n) 就是它在該卡中的分量——正是曲面上組合 x_u 與 x_v 的 (a, b) 係數的流形版本。換一張卡，這些分量會依一條乾淨的線性規則改變，但底下的向量——真正的速度、真正的算子——不變。在每一點上平順地選一個這樣的切向量，就是一個向量場，是天氣圖上風箭頭的流形類比。
度量：每個切空間的一把尺與量角器
現在我們安裝量度。切空間是一個平坦的向量空間，但一個赤裸的向量空間——像所有數對 (a, b) 構成的抽象平面——同樣沒有內建的長度或角度概念；那些概念在曲面上是來自點積的。在流形上的解法，是由人手供給一個點積，在每一點上分別地給。一個黎曼度量 g 正是如此：在每一點 p，它是切空間 T_p M 上的一個內積——一條規則 g_p(u, v)，吃進兩個切向量、回傳一個數，在各方面都表現得像尋常的點積。它對稱，g_p(u, v) = g_p(v, u)；它在每個槽位都是線性的；而且它是正定的，意思是對每個非零的 v 都有 g_p(v, v) 大於 0，於是長度永不為零、也不會是虛數。
從這一個小裝置，每一種量度都流淌而出，只需照抄你早已信任的點積公式。一個切向量的長度是 |v| = 根號 g_p(v, v)。兩個切向量之間的角 theta 來自與中學向量相同的關係：g_p(u, v) = |u| |v| cos theta，所以 cos theta = g_p(u, v) / (|u| |v|)。兩個方向恰好在 g_p(u, v) = 0 時互相垂直。關鍵的字是平順地：度量必須在點與點之間平順地變化，使 g 成為一個連續的內積場，而不是一堆互不相干、彼此斷裂的尺。把一把平順變化的尺與量角器黏到每一個切空間上，赤裸的流形便終於成了一個你能量度的地方。
在座標中讀出度量
要用度量做計算，我們把它寫在一張卡裡，而在這裡曲面那一階直接得到回報。固定座標基底 d/dx^1, ..., d/dx^n。因為內積由它在基底向量上的值所決定，度量便被一組數 g_ij = g_p(d/dx^i, d/dx^j) 完全捕捉——這是基底方向 i 與基底方向 j 的內積。這些 g_ij 就是度量張量的分量，它們不過是 E、F、G 的高維版本。在一塊二維區域上，g_11 是 E、g_22 是 G、而 g_12 = g_21 是 F；內積的對稱性正是 g_ij = g_ji 的原因，也正是為何 E、F、G 只是三個數而非四個。
有了分量，一個座標位移為 (dx^1, ..., dx^n) 的微小步伐，其長度就是線元素 ds^2 = 對 i、j 求和的 g_ij dx^i dx^j。在二維中這正是 ds^2 = E du^2 + 2F du dv + G dv^2——曲面那一階的同一條線元素，如今被理解為不是從周圍空間的點積借來的，而是流形自己宣告的度量。弧長、角度與面積的整套機制原封不動地沿用：沿曲線積分 ds 得其長度；用面積元素根號 (g 的行列式) 得體積。度量張量是一切量度的文法，從內部寫成。
the metric tensor in a chart g_ij = g(d/dx^i, d/dx^j) symmetric: g_ij = g_ji 2D dictionary: g_11 = E g_12 = g_21 = F g_22 = G length of a tangent vector v : |v| = sqrt( g(v, v) ) angle between u and v : cos theta = g(u, v) / (|u| |v|) line element (tiny step dx^i) : ds^2 = sum_ij g_ij dx^i dx^j
一個實例：上半平面
讓我們看一個度量如何重塑一個我們自以為認識的空間。取尋常的上半平面——所有 y 大於 0 的點 (x, y)——但不用通常那把平坦的尺，改而宣告度量 ds^2 = (dx^2 + dy^2) / y^2。以分量寫就是 g_11 = g_22 = 1 / y^2、g_12 = 0。流形不過是無趣的半平面；幾何卻全然不同。注意分母裡的 y^2：一個固定大小 (dx, dy) 的座標步伐，其真實長度要除以 y。在高處（y 大）真實距離縮小，所以看起來很長的旅程其實很短；靠近 x-軸（y 小）時，同樣的座標步伐卻要付出巨大的真實長度——x-軸無限地遠，是一條到不了的地平線。
這不是一場無聊的遊戲。你剛剛建起的空間，就是雙曲幾何的龐加萊上半平面模型，在非歐幾何那一階見過——在那裡它是被當成一個模型交給你的；在這裡你卻從一個平坦定義域上的單一度量把它建造了出來。同一組點，配上不同的 g，就成了一個世界：過一條線外一點有無窮多條不相交的線、三角形的內角和小於 180 度。這個教訓重重落下：決定你活在哪一種幾何裡的，是度量，而非底層那組點。
為何這是相對論所說的語言
退一步，看看你如今掌握了什麼。光滑流形提供一個彎曲的競技場；每一點的切空間提供局部的線性世界，速度與映射的微分都住在那裡；而黎曼度量提供那個平順變化的內積，把整件事變成一個有真正距離與角度的地方。關鍵在於，這一切都是內在的——完全從內部定義，視野中沒有任何周圍空間。一個被禁錮在流形上、永遠無法踏出它的生物，擁有上述每一件工具，並能用它們量度。這正是與曲面那一階的決定性決裂——在那裡，量度仍倚賴一個嵌入。
一個誠實的延伸，把這一階最後一篇的環扣上。愛因斯坦的廣義相對論用的幾乎正是這幅圖像，只放鬆了一處：它捨棄了正定的要求。時空帶的是一個偽黎曼度量，其中 g(v, v) 可以是正、負、或零——負的方向是時間，正的方向是空間，零的方向則是光的路徑。雙語讀者應把術語把穩：嚴格的黎曼度量是正定的，如同我們所建；相對論版本是它的近親。其餘的一切——切空間、度量張量 g_ij、線元素 ds^2——都原封不動地轉移過去。你剛剛建起的，正是彎曲時空的幾何將要被書寫於其中的那套文法。