圓內接四邊形與點對圓的冪

四個頂點落在同一個圓上

你已經知道，三角形的三條垂直平分線會交於同一點，而這個點與三個頂點等距——所以每個三角形都有一個通過三頂點的外接圓。四邊形就沒這麼好命。隨手取四個點，通過其中三點的圓通常會錯過第四個點。圓內接四邊形 就是那個特別、規矩的情形：四個頂點恰好都坐在同一個圓上。這個圓叫做它的外接圓，而這個四邊形被說成內接於它。

在所有四邊形裡，為什麼偏偏要在意這一種情形？因為一旦圓內接四邊形的頂點被釘在圓上，上一篇的圓周角定理就接手，並對這些角強加一種美麗的剛性。四個頂角中的每一個都是一個圓周角，望向對面那段弧，而圓周角完全被它所對的弧掌控。這個單一事實，就是本篇一切的引擎。

對角加起來等於 180

重頭戲來了。在圓內接四邊形 ABCD 裡，兩組對角互補：m(angle A) + m(angle C) = 180 度，同樣地 m(angle B) + m(angle D) = 180 度。證明很短，整個靠圓心角是與它共弧的圓周角兩倍這件事。看好整個 360 度的圓是怎麼被恰好對半切開的。

角 A 與角 C 坐在相對的頂點上。角 A 內接於它那側，張開望向對面的弧 BCD；角 C 張開望向對面的弧 DAB。這兩段對面的弧合起來就是整個圓，所以它們的度數加起來是 360 度。
由圓周角定理，每個角是它對面那段弧的一半：m(angle A) 是弧 BCD 的一半，m(angle C) 是弧 DAB 的一半。
把它們相加：m(angle A) + m(angle C) 是 (弧 BCD + 弧 DAB) 的一半，也就是 360 度的一半，恰好是 180 度。

另一組，角 B 與角 D，也就必然加起來等於 180 度，因為任何四邊形的四個內角都加起來是 360 度，而我們剛剛已經算掉了其中一半。所以圓內接四邊形是角度被鎖死的：告訴我一個角，我立刻就知道它對面那個角。矩形是最友善的例子——它的四個直角顯然兩兩配成 180，這正是為什麼每個矩形都是圓內接的，圓心就在它兩條對角線的交點上。

倒著跑：判定是否圓內接的檢驗

一個定理和它的逆敘述是兩個不同的主張，就像你最初把一個敘述和它的逆敘述分開時學到的——而這裡的逆敘述恰好為真，而且確實有用。如果一個四邊形有一組對角加起來等於 180 度，那麼它必定是圓內接的：有一個圓通過它全部四個頂點。這給了你一張快速的證書。你不必去找出那個圓，只要檢驗一組角的和就好。

逆敘述背後的想法是一個乾淨的小小矛盾。畫出通過三個頂點 A、B、C 的圓。如果第四個頂點 D 不在這個圓上，它就會落在圓內或圓外；不論哪種情形，D 處的角都會明顯地大於或小於互補條件所要求的值，從而與 m(angle B) + m(angle D) = 180 矛盾。所以 D 無處可去，只能落在圓上。我們不會在這裡追完每一個不等式——完整的分類討論誠實但瑣碎——但這個論證的形狀，正是你已經見過的軌跡思維：看 BC 張成固定角的那些點構成一段弧，而 D 被釘在它上面。

點對圓的冪：一個數，許多直線

現在固定一個點 P 和一個圓，畫出任何一條通過 P 並與圓相交的直線，交圓於兩點 X 與 Y。點對圓的冪是這個了不起的主張：乘積 |PX| 乘以 |PY| 對通過 P 的每一條這樣的直線都是同一個數——它不取決於你選的直線，只取決於 P 相對於圓的位置。把直線轉到新的方向，兩段交點距離各自會變，但它們的乘積卻紋風不動。

這份恆定從何而來？很恰當地，正是來自圓內接四邊形。取通過 P 的兩條弦，一條交圓於 A 與 C，另一條交於 B 與 D。四點 A、B、C、D 都在圓上，所以 ABCD 是圓內接的，它的圓周角繫於弧上。比較三角形 PAB 與三角形 PDC：它們共用 P 處的角，而圓周角角 A 與角 D 都對著同一段弧 BC，所以相等。兩個相等的角，由 AA 使這兩個三角形相似。相似三角形的邊成比例，把這個比例寫出來交叉相乘，就得到 |PA| 乘 |PC| = |PB| 乘 |PD|。對兩條弦這個乘積相同——這正是這個點的冪。

P inside the circle (two chords crossing at P):

        A
         \         |PA| . |PC| = |PB| . |PD|
      B---P---D     (the common value is the POWER of P)
           \
            C

P outside the circle (two secants from P):

   P----A----C        |PA| . |PC| = |PB| . |PD|
    \
     B----D           and if one line is a TANGENT at T:
                          |PT|^2 = |PA| . |PC|

不論 P 在圓內或圓外，兩段距離的乘積都是定值；對切線而言兩個交點合而為一，給出 |PT|^2。

圓內、圓外，與切線的極限情形

同一個敘述依 P 所在的位置戴上三張面孔。如果 P 在圓內，通過它的每條直線都是弦，你得到的是相交弦定理：|PA| 乘 |PC| = |PB| 乘 |PD|，一條弦的兩段相乘等於另一條弦的兩段相乘。如果 P 在圓外，通過它且擊中圓的直線是割線，各自進入又離開，同樣的乘積法則對兩條割線成立。要把它們分清楚，最乾淨的方法是記得它們是同一個定理，由同一對相似三角形證出，只是畫在兩個不同的位置上。

最漂亮的一張面孔出現在極限裡。把從外點 P 出發的某條割線慢慢滑動，直到它的兩個交點緩緩合併成單一個點 T——這條線就變成了切線，恰在 T 處觸碰圓。乘積 |PX| 乘 |PY| 塌縮成 |PT| 乘 |PT|，也就是 |PT|^2。所以從一個外部點，切線長的平方等於割線乘積：|PT|^2 = |PA| 乘 |PC|。這個切線—割線關係是最常派上用場的版本，它靜靜地倚靠著切線與半徑垂直相交，以及弦切角等於另一弓形內圓周角這兩件事，兩者都來自本梯級稍早的部分。

誠實地把它派上用場

這兩個結果把彆扭的幾何問題化成一行算術。假設一條長 10 的弦被另一條弦截斷，在一側分成 2 與 8 兩段；若第二條弦被分成 x 與 6，則冪法則說 2 乘 8 = x 乘 6，所以 x = 16/6，略大於 2.6——完全不必追角。又或者，從圓外一點 P，若切線長為 6，而從 P 出發的一條割線截圓於距離 4 與 L，則 6^2 = 4 乘 L 給出 L = 9。點對圓的冪是一條安靜的記帳法則，而那張雜亂的圖必須服從它。

用兩個誠實的提醒來收尾這個梯級。第一，這裡每個定理都需要那些點真的在圓上，或那些直線真的通過所選的那一個點 P——把一個頂點移離圓，角和就失效；讓兩條弦在不同的點相交，乘積法則講的就只是另一個量了。第二，撐起這一切的圓周角機制，帶著它在上一篇裡的細則：圓周角只有在對著同一段弧時才等於圓心角的一半，而相等的圓周角必須站在它們所對弦的同一側。守住這些條件，圓內接四邊形與點對圓的冪就永遠不會讓你失望。