圓周角定理與泰利斯定理

看同一段弧的兩種方式

上一篇你認識了圓的家具——圓心、半徑、弦、弧與切線。現在我們把一個角放進圓裡，看著一件近乎奇妙的事發生。在圓上取兩點 A 與 B；它們合起來把圓切成兩段弧。「看」這段從 A 到 B 的弧，有兩種自然的方式。從圓心 O 看，圓心角角 AOB 直接張開對著那段弧，兩條半徑朝 A 與 B 散開。從圓周上的第三點 P 看，圓周角角 APB 對著同一段弧張開，只是它的頂點落在圓緣上，而非樞紐處。

圓心角是這段弧誠實而樸素的量度：依定義，弧的度數就是 m(角 AOB)。圓周角才是有趣的那個，因為 P 可以沿著圓滑來滑去。把 P 沿著優弧拖動，你或許以為靠近弦時角 APB 會變大、遠離時會變小——這是直覺的低語。直覺在這裡錯了，而且錯得乾淨又出人意料，這正是這條定理對得起它名號的原因。

定理：圓周角是圓心角的一半

完整的敘述如下。若一個圓周角與一個圓心角對著同一段弧，則圓周角恰好是圓心角的一半：m(角 APB) = (1/2) m(角 AOB)。兩個推論立刻掉出來。第一，既然 A 與 B 一旦固定，圓心角就固定了，那麼當 P 沿著它那段弧遊走時，圓周角永遠不變——那段弧上的每個視點，看弦 AB 的張角都一模一樣。第二，這個數字永遠是乾淨的一半。一段弧若被圓心張成 100 度，從圓緣看就是 50 度，沒有別的。

為什麼是一半？最乾淨的情形，是圓周角的一邊——譬如 PB——剛好穿過圓心 O，也就是一條直徑。這時看三角形 OPA。OP 與 OA 都是半徑，所以相等，使三角形 OPA 成為等腰三角形；由等腰三角形定理，兩底角相等，故 m(角 OPA) = m(角 OAP)。圓心角 AOB 是這個三角形的一個外角，而三角形那段講過的外角定理說它等於兩個不相鄰內角之和——這裡兩者相等——所以 m(角 AOB) = 2 m(角 OPA) = 2 m(角 APB)。除以二，結果就出來了。

泰利斯定理：半圓裡的直角

現在餵給定理它最著名的特例。讓 AB 是一條直徑，而非普通的弦。直徑所對的圓心角是平角：A、O、B 共線，所以 m(角 AOB) = 180 度。圓上任意一點 P 看這條直徑的圓周角是它的一半——m(角 APB) = 90 度。於是圓上每一點（除了 A 與 B 本身）回望直徑時都成一個完美的直角。這就是泰利斯定理：半圓內所對的圓周角恆為直角。

A ----------- O ----------- B      AB is a diameter, O the centre
  \                       /
   \         P           /        P is any point on the circle
    \     (on circle)   /
     \                 /          angle AOB = 180 deg  (A,O,B in a line)
      \               /           angle APB = 90 deg   (half of 180)
       \____________/             so triangle APB is right-angled at P

泰利斯：從圓緣對直徑所張的角永遠是 90 度。

這是一條道地的雙向道，逆命題同樣好用。若三角形 ABP 在 P 處有直角，則 P 必落在以斜邊 AB 為直徑的圓上——這圓的圓心是 AB 的中點，且 OP、OA、OB 都是相等的半徑。所以「以某固定線段為直角所對的全部點」恰恰是一個以該線段為直徑的圓。這個逆命題正是主力：它把「這裡有個直角」翻譯成「這四點共圓」，正是通往下一篇圓內接四邊形的橋。

讓定理上工

讓我們把一個小小的數值例子從頭走到尾，因為記帳的工夫正是定理賺取身價之處。設 A、B、C、P 都坐落在以 O 為圓心的同一個圓上，弧 AB 所對的圓心角 m(角 AOB) = 70 度，弧 BC 所對的圓心角 m(角 BOC) = 90 度。我們想求圓周角 m(角 APC)，其中 P 落在優弧上，使弧 AB 與弧 BC 合起來正對著它。

從 A 到 C（經過 B）的弧，其圓心角 m(角 AOC) = 70 + 90 = 160 度，因為兩個圓心角相鄰且相加。
P 看的正是這同一段弧 AC，所以它的圓周角是一半：m(角 APC) = (1/2)(160) = 80 度。
驗一塊：只對著弧 BC 的圓周角是 (1/2)(90) = 45 度，只對著弧 AB 的是 (1/2)(70) = 35 度；45 + 35 = 80，一致。

兩項精修讓它在實戰中更為強大。切線可以代替一條臂：若不用弦，而讓一條切線切圓於 A，量它與弦 AB 所夾的角，你會得到弦切角，它和圓周角一樣等於所截弧的一半——把它想成 P 一路滑到 A 的極限情形。而當 P 落在另一段弧上時，它看弦的張角是補角，是優角圓心角的一半；正是這個互補的事實，使圓內接四邊形的對角和為 180 度。

它為何要緊，又通向何方

退一步，細味你手上握有的東西。圓周角定理說，圓是一處完美共識之地：每位站在給定弧上的觀察者，量對面那條弦的張角都得到同一個共享的角。這就是為何圓——而且只有圓——是「以固定線段為固定角所對的點」的軌跡，這個事實悄悄主宰著從相機取景到足球門前幾何的一切。直角的特例泰利斯，則是座標幾何中圓的諸多性質、以及無數作圖技巧的種子。

下一篇會兌現方才暗示的兩項精修。造一個四角都落在同一個圓上的四邊形，圓周角定理就迫使它的對角互補——這正是圓內接四邊形的定義性質。再往前推一點，同樣的圓與角推理會產出點對圓的冪，一個把相交弦、割線與切線統統綁在一起的單一數字。那最後一篇裡的一切，都是這同一條定理，從新的角度——確確實實是新的「角」——再看一遍。