一條規則，接著是一整套詞彙
圓是定義起來最簡單、探索起來卻最豐富的圖形。整個東西都從一句話蓋起來：固定一個點 O（圓心）和一個長度 r（半徑）；圓就是所有與 O 恰好相距 r 的點。沒有別的了。用你先前學過的語言來說，圓是一個 軌跡——滿足某一條件的所有點所成的集合——而這唯一的條件「到圓心的距離等於 r」，正是這一階梯所有定理生長出來的種子。
因為每一點到 O 的距離都相同，同一個圓的所有半徑都相等。這話聽起來顯而易見到不值一提，但它卻是大多數圓的證明暗中倚靠的那個事實：你一畫出兩條半徑，就等於送給自己兩條相等的線段，而相等的線段會孕育出等腰三角形、全等與對稱。把這個反射動作記住——在圓裡卡住時，就畫一條半徑——一半的工作便已完成。
在進入定理之前，先把名字定好，因為圓的題目有一半是靠正確判讀圖形贏下來的。弦是連接圓上兩點的任一線段。直徑是那條穿過 O 的特殊弦——存在的最長弦，恰好是半徑的兩倍。與圓相交於兩點的直線叫割線，只擦過一點的叫切線。你在 圓的構造 中建立起來的整套命名就是這套工具，這裡我們讓每個零件各司其職。
弦與弧：忠實的搭檔
每一條弦都把圓切成兩段曲線，稱為弧——較短的劣弧與較長的優弧（除非那條弦是直徑，此時兩段弧是相等的半圓）。弦是筆直的捷徑，弧是同樣兩個端點之間的彎曲路徑。我們衡量弧不是用長度，而是用度數：一段弧的度數，就是從 O 張開到它的那個 圓心角。圓的四分之一是 90 度弧，半圓是 180 度，繞一整圈是 360。
現在來看這對搭檔。在同一個圓裡畫兩條剛好等長的弦。把每條弦的端點都連到 O，你會得到兩個三角形，它們的三組邊兩兩相等：各有兩條半徑（全相等），加上相等的弦作為第三邊。依你在三角形那一階梯已經信得過的「邊邊邊」想法，這兩個三角形全等，所以圓心角相等——而相等的圓心角意味著相等的弧。一口氣說完：在同一個圓裡，等弦對等弧，等弧也由等弦所對。逆命題同樣乾淨俐落。
從圓心落下的垂線
這裡是最有用的一條弦的事實，也是要練到變成手感的那一條。從圓心 O 直直地往一條弦落下一條線，使它與弦相交成直角。這條垂線永遠落在弦的中點上——它把弦平分。反過來想也同樣為真：從 O 連到弦中點的線必然垂直於那條弦，而任何一條弦的 垂直平分線 永遠通過圓心。三句話，一張圖。
為什麼非如此不可？用半徑把 O 連到弦的兩個端點。你蓋出來的三角形是等腰的——它有兩邊是半徑，因此相等。從頂點 O 落到底邊的那條垂線，正是等腰三角形的高，而你在三角形那一階梯早已證明：這條高不偏不倚地落在中點上，並且平分頂角。所以直角的那條線、中點、與對稱，並不是三個巧合；它們是一個披著圓外衣的等腰三角形。
- 一條長 16 的弦位於半徑 10 的圓裡。這條弦離圓心多遠？從 O 落下垂線，它把弦平分成兩段各為 8。
- 現在看由這些邊組成的直角三角形：弦的一半（8）、連到端點的半徑（10，斜邊）、以及從圓心到弦的未知距離 d。
- 套用 畢氏定理：d^2 + 8^2 = 10^2，所以 d^2 = 100 - 64 = 36，得 d = 6。這條弦離圓心 6 個單位。
- 把這個教訓橫著讀：弦離圓心越近就越長，而直徑（距離為 0）是其中最長的。離圓心的距離與弦的長度，朝相反的方向前進。
切線：剛好碰一下的直線
切線是恰好碰圓於一點——切點——而不碰其他地方的直線。想像一枚硬幣躺在桌上：桌面與硬幣的邊緣相切，在唯一的一個位置親吻它。主宰的法則簡短而有力：在切點處，切線與連到該點的 半徑垂直。半徑與切線永遠相交成乾淨的 90 度。
理由是一個俐落的反證小論證。在切線上的所有點當中，切點是唯一真正落在圓上的點；這條線上的其他每一點都在圓外，因此離 O 比 r 還遠。所以在這條線的所有點裡，切點是離 O 最近的。但從一點到一條線最短的線段就是那條垂直的——這正是 點到直線的距離。最近點恰好是垂足，這就逼得連到該點的半徑必須垂直於那條線。證畢。
有兩個推論值得記住。第一，從圓外一點 P 恰好能畫出兩條切線，而從 P 到兩個切點的兩條切線段等長——把 P 連到 O，注意到兩個共用斜邊 PO 的全等直角三角形，便能看出這一點。第二，既然切線與半徑成直角，你就能在三角形 OPT 上用畢氏定理來處理切線問題，其中 T 是切點：|OP|^2 = r^2 + |PT|^2。切線就這樣悄悄變成了一個直角三角形的問題。
可以丈量的弧，以及關於弧長的誠實一語
我們用度數來衡量弧，但弧同時也是一段你真能沿著走的彎曲長度，這兩者很容易混淆。一段 90 度的弧是繞圓一圈的四分之一，所以它的長度是整個 圓周長 2 pi r 的四分之一。一般而言，n 度的弧長是 (n / 360) 乘以 2 pi r——度數告訴你佔了多少比例，圓周長提供了實際的大小。把這兩個概念分開：度數描述弧跨過多少轉動的份額，長度描述你會走多遠。
這裡藏著一個更乾淨的單位，你在往後的數學裡都會倚靠它。不用度數，改用 弧度 來量圓心角——弧度就是其弧長恰好等於一個半徑的那個角。如此一來弧長就單純是 r 乘以 theta，公式裡再無 360、也無多餘的 pi。一整圈是 2 pi 弧度，正是因為整個圓周長是 2 pi r，恰好是 2 pi 個半徑首尾相接。弧度不是另一個事實，它只是圓自身的幾何用來書寫自己時，那個誠實的單位。