什麼才算是多邊形
上一段你一直住在三角形裡。多邊形是自然的下一步：一個由直線段首尾相接圍成的封閉圖形，每個角恰好碰到其中兩條線段，且任兩邊不在中途相交。三角形是最小的多邊形，有三條邊；四條邊的是四邊形，接著是五邊形（5）、六邊形（6）、七邊形（7）、八邊形（8），依此往上。那些線段是邊，角點是頂點；一個 n 邊形各有 n 個。
一個區別決定了接下來的一切：多邊形不是凸的就是凹的。在凸多邊形中，每個內角都小於 180 度，所以沒有角向內凹陷，且在它任兩點之間畫的線段都完全落在內部。凹（或稱「內凹」）多邊形至少有一個角向內戳，像凹了一塊的箭頭或星形。除非另作聲明，本篇的多邊形都是凸的——正是這一點，讓內角和的推理保持乾淨。
把多邊形切成三角形
我們已從三角形那段擁有一個黃金事實：任何三角形的三個內角恰好相加為 180 度——這就是三角形內角和。對付其他每一種多邊形的訣竅，是拒絕學任何新東西，改把圖形剁成三角形。對角線是連接兩個不相鄰頂點的線段。任選多邊形的一個頂點，從它畫出所有對角線；整個內部便散成一把三角形的扇形，沒有剩餘，也沒有重疊。
現在只要數扇形裡的三角形。從你選的頂點，不能畫對角線到自己或它的兩個鄰居，所以對角線連到其餘 n - 3 個頂點；這 n - 3 條對角線把內部切成 n - 2 個三角形。四邊形（n = 4）分成 2 個三角形；五邊形（n = 5）分成 3 個；六邊形（n = 6）分成 4 個。「比邊數少二」這個規律，正是整條公式的核心。
多邊形的每一個內角，都完全由這些三角形的角拼成，且沒有任何三角形的角被浪費到別處去。所以多邊形的內角總和，恰好等於（三角形個數）乘以 180 度。這就是多邊形內角和：對一個 n 邊的凸多邊形，總和 S = (n - 2) * 180 度。用三角形本身驗證，n = 3：(3 - 2) * 180 = 180，正是我們出發時的那個事實。
公式上工
手握 S = (n - 2) * 180，任何多邊形的內角和都只是一次快速代入。五邊形的五個角相加為 (5 - 2) * 180 = 540 度；六邊形為 (6 - 2) * 180 = 720；八邊形為 (8 - 2) * 180 = 1080。公式也能反過來用。若一個多邊形的內角和為 1440 度，解 (n - 2) * 180 = 1440，得 n - 2 = 8，故 n = 10——一個十邊形。
n name triangles (n-2) interior sum (n-2)*180 3 triangle 1 180 4 quadrilateral 2 360 5 pentagon 3 540 6 hexagon 4 720 8 octagon 6 1080 10 decagon 8 1440
停在 n = 4 那一列：四邊形的四個內角永遠相加為 360 度。這一個數字統御了你下一篇將遇見的整個四邊形家族——正方形、矩形、平行四邊形、鳶形等等，全都共用這 360 度的預算，而它們許多性質不過是花用這筆預算的巧妙方式。現在先記下來很值得。
正多邊形與相等的角
正多邊形是同時為等邊（所有邊等長）與等角（所有角等大）的多邊形。兩個條件缺一不可：菱形邊等但角不等，矩形角等但邊不等，所以兩者都不是正多邊形——在四邊形中，唯有兩者皆備的正方形夠格。正三角形、正方形、正五邊形與正六邊形，是這個家族的日常面孔。
因為正多邊形的 n 個角全相等，要找出一個角，不過是把總和公平地分配。取內角和 (n - 2) * 180 除以 n：每個內角為 (n - 2) * 180 / n 度。正方形得 (4 - 2) * 180 / 4 = 90，正如所料。正五邊形得 540 / 5 = 108。正六邊形得 720 / 6 = 120——這正是為何六邊形能如此整齊地鋪滿蜂巢，因為三個 120 度的角繞著一點相聚，恰好填滿整整 360 度。
- 求正八邊形（停車標誌的形狀）的一個內角，故 n = 8。
- 內角和：(8 - 2) * 180 = 6 * 180 = 1080 度。
- 把它分給 8 個相等的角：1080 / 8 = 135 度，每角如此。
- 驗算：135 小於 180，所以八邊形是凸的，正如它應當如此。
外角：恆為 360
還有第二種度量多邊形角的方式，令人意外地更簡單。在每個頂點，把一條邊越過角延長出去；那段延長線與下一條邊之間的角就是外角。同一頂點的內角與其外角沿著一條直線排列，所以它們構成一對線性對偶角，相加為 180 度——正是你早在三角形那段證過的線性對偶關係。
現在想像繞著多邊形的外緣走一圈，回到起點時面向原來的方向。在每個角你恰好轉過該頂點的外角，到最後你總共轉了整整一圈。所以對任何凸多邊形，外角和都是 360 度——而且了不起的是，這個總和根本不依賴於 n。三角形、六邊形、一百邊的形狀：繞一圈，就是一整圈的 360 度。
對正多邊形，這幾乎是免費把角送給你。既然 n 個外角全相等且相加為 360，每個就是 360 / n 度。正五邊形的外角為 360 / 5 = 72，所以每個內角是 180 - 72 = 108——與我們繞遠路算出的相符。許多題目走外角這扇門最快：要找出每個外角為 30 度的正多邊形有幾條邊，只需算 n = 360 / 30 = 12。
這一段通往何處
你如今握有兩條親手掙來、而非死背的公式：內角和為 (n - 2) * 180，外角和永遠為 360。兩者都從同一顆種子長出——把圖形切成三角形——所以它們其實是三角形內角和的化身，套用了 n - 2 次。把陌生之物化約為三角形的這個習慣，是平面幾何中最深的一手，並將持續帶來回報。
帶往下文的一個誠實提醒：內角和公式 (n - 2) * 180 對凸多邊形完全如所述成立，對凹多邊形它仍給出正確的總和，但當某個角反折超過 180 度時，逐頂點的說法會變得更微妙。尤其那幅乾淨的「外角繞一整圈等於 360」的圖像，假設你始終朝同一方向轉——凸多邊形正是直覺不受遮蔽之處，這也是我們留在這裡的原因。
接下來我們聚焦於四邊的情形。你在此處揭開的 360 度預算，將成為四邊形家族樹的骨幹——平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形與鳶形如何彼此巢狀相套，以及每一個各自繼承了哪些角與邊的性質。在那之後，本段將完全告別直邊，踏入圓的領域，那裡這些相同的計數直覺，會以圓心角與圓周角定理的姿態重新現身。