一條曲線，三副面具
回到圓錐曲線那一階，你把這三條曲線當成各自獨立的公民來學，每一條都有自己的方程與自己的離心率：橢圓封閉而整齊，拋物線開敞而只有一臂，雙曲線則甩成兩支。單一個數——離心率——把它們分辨開來：小於一是橢圓，恰好等於一是拋物線，大於一是雙曲線。這個分類在平坦的歐氏平面中完全正確。但它是依形狀而分的，而射影幾何在這整一階裡都在教你：形狀並不是它所在意的東西。
回想這一階的核心動作。在第一篇裡，你為每一個方向添上一個 無窮遠點，而它們全體合起來構成 無窮遠線，把普通平面補全為 射影平面。在第二篇裡，你給每一個點三個 齊次座標 (x : y : z)，於是有限點 (a, b) 變成 (a : b : 1)，而無窮遠點則有 z = 0。一個 射影變換 便能把無窮遠線拖到它喜歡的任何一條線上，而正是這單一的自由，把三條圓錐曲線熔成了一條。
全在於你如何與地平線相遇
這裡有一幅圖，讓這場合併顯得勢所必然。取任一條圓錐曲線，問一個問題：它與無窮遠線相交幾次？一條 射影圓錐曲線 不過就是一個 (x : y : z) 的齊次二次方程的零集，而你只要令 z = 0、解剩下的式子——一個 x 與 y 的平凡二次式——就找出它與地平線的相遇。實數上的二次式有兩個根、一個重根、或無實根，而這三種情形恰恰就是橢圓、拋物線、雙曲線。
Conic in homogeneous coords, then set z = 0 to meet the horizon:
x^2 + y^2 - z^2 = 0 --> z=0 gives x^2 + y^2 = 0
no real solution => ELLIPSE
(misses the line at infinity)
y z - x^2 = 0 --> z=0 gives x^2 = 0
one double root => PARABOLA
(tangent to the line at infinity)
x^2 - y^2 - z^2 = 0 --> z=0 gives x^2 - y^2 = 0
two roots x=y, x=-y => HYPERBOLA
(crosses the line at infinity twice)慢慢讀這一段，因為它重新框定了你過去所知的一切。橢圓從不抵達無窮遠——它整個錯過地平線，沒有任何 z = 0 的實點。拋物線與無窮遠線相切：它的兩端都奔向同一個方向，在地平線上交於一個加倍的點。雙曲線在地平線上相交於兩個相異點，而那兩個點恰恰是它兩條漸近線的方向——漸近線就是穿過該圓錐曲線兩個無窮遠點的直線。舊階的離心率測試與這裡的相交計數，是同一個區分，只是一次用度量的語言、一次用射影的語言說出。
現在是關鍵的妙語。一個射影變換能把任一條線送到任一條別的線上，所以它能把無窮遠線送到一條錯過你的圓錐曲線、或相切、或切兩次的線上——隨你選。施以恰當的變換，你就把雙曲線變成橢圓，或把橢圓變成拋物線，只不過是重新安置「無窮遠」相對於曲線的位置。射影平面裡的那條曲線從未改變；改變的只是地平線。這就是「所有圓錐曲線都是一條」精確而建構性的意思——不是一句口號，而是一個你真能寫下來的變換。
五個點釘住一條圓錐曲線
如果圓錐曲線這般靈活，那是什麼把一條釘在原地？乾淨的答案是一個你幾乎能在腦中完成的計數論證。一般齊次二次方程 A x^2 + B x y + C y^2 + D x z + E y z + F z^2 = 0 有六個係數，但把整個方程乘以一個非零常數會給出同一條曲線——所以只有它們的比值要緊，留下五個真正的自由度。你要求圓錐曲線通過的每一個點，都對這些係數施加一個線性條件。五個點，五個條件，圓錐曲線便被確定了。
這就是五點定圓錐曲線定理：通過任意五個點（其中無三點共線），恰有一條圓錐曲線。它是圓錐曲線世界對「兩點決定一線」的回答，因多出的自由度而升了級。注意「無三點共線」裡那行誠實的細則：若你五點中有三點排成一線，圓錐曲線想抓住這三點就只能包含整條那條線，這便逼它成為一條退化圓錐曲線——一對直線，而非平滑的橢圓或雙曲線。一般位置這個但書，正是讓答案保持為一條真正曲線的關鍵。
對偶性奉送極點與極線
現在來領取第三篇所承諾的紅利。對偶原理在整個射影幾何中互換點與線，而圓錐曲線恰恰是那種能把這個互換從口號變成工具的對象。固定一條圓錐曲線。對任一點 P，圓錐曲線指派一條線；對任一條線，圓錐曲線指派一個點，且彼此相容——附於 P 的那條線是它的極線，而 P 反過來是那條線的極點。這個配對是圓錐曲線自己私有的對偶版本，是由這單一條曲線織出的點線對應。
這個構造是具體的，並不神秘。若 P 落在圓錐曲線外，從 P 向曲線引兩條切線；它們各觸於一點，連接這兩個切點的線就是 P 的極線。若 P 落在曲線上，它的極線就是該處的切線。而若 P 落在內部，你便畫任意兩條穿過 P 的弦，連接所得完全四點形的對角點來還原極線——又是第四篇那個四點形小裝置，再度默默地做著結構性的工作。關鍵是，整個構造只用到直尺的接合關係；沒有長度、沒有角度、沒有任何度量。這正是為何極點與極線是真正射影的。
極點—極線的配對還遵守一條完全互逆的律則，它本身就是對偶性的一個小實例：若點 P 落在點 Q 的極線上，則 Q 落在 P 的極線上。這樣的 P 與 Q 稱為對該圓錐曲線互為共軛，而正是這個互逆性，讓你能把任何關於圓錐曲線上的點的定理，對偶成一個關於切線的對應定理。換言之，圓錐曲線不只是一條坐落在射影平面裡的曲線——它是一台機器，把第三篇那抽象的對偶性實現為一個誠實、可畫出的對應。
為何射影觀點值得這趟攀登
退一步，感受這一階給你買來了什麼。在圓錐曲線那一階，三條曲線頑固地各自分立，每條都需要自己的定理。在這裡，單一個齊次方程涵蓋全部三者，單一個計數論證（五點定一圓錐曲線）統一地管轄它們，而單一個對偶（極點與極線）貫穿每一條。在平坦紙面上要分三種情形的敘述，到了射影平面裡塌縮成一種情形——而這份精簡並非表面功夫，它正是數學家在認真研究這些曲線時伸手取用射影觀點的全部理由。
在你繼續前進之前，立兩塊誠實的界碑。其一，射影的統一是刻意捨棄度量資料的——焦點、準線、離心率，正是圓錐曲線那一階所築起的東西——所以這兩種觀點是夥伴，不是對手：當你要對準一面衛星碟時，你回到焦點；當你想要最乾淨的分類時，你上來這裡。其二，即使在射影幾何之內，退化圓錐曲線（線對、一條雙重線、單獨一點）也是平滑分類撇在一旁的另一個層次，認真的工作必須明確地處理它們。指出一個美麗想法在哪裡停下，是誠實地把它握住的一部分。
而從這裡望出去的景象不斷向上展開。極點—極線這台機器、五點定理、三條圓錐曲線的合併——這些是「把幾何當成研究何者能在射影變換下存活」這個觀點的頭一批真正果實。上方的階梯把這個想法宏大地框起來：一種幾何就是一個變換群及它所保持的不變量，射影幾何靠近根基，而歐氏幾何坐落於其中，作為那個還額外記得距離與角度的特例。圓錐曲線——在下方看來像是三條曲線——正是觀看整個層級豁然聚焦的最清晰之處之一。