那條格格不入的公設
在上一階，你學會把兩個感覺像同一個問題的東西分開：一個命題為真嗎？以及它能否從所選的公理證出？整場非歐幾何的冒險，就從這個單一的區分出發，套用在一句惡名昭彰的話上——歐幾里得的第五公設，即平行公設。所以先好好盯著這句話本身。歐幾里得五條公設中的四條都短而顯然：兩點可連成一線、線段可延長、可畫圓、所有直角都相等。第五條卻是一整段：若一條線截過另外兩條線，且某一側的內角和小於兩個直角，則那兩條線延長得夠遠，必在該側相交。
讀它兩遍，你就會感受到那股糾纏了數學家兩千年的不安。其餘四條公設斷言的，是你在一指寬的紙上就能驗證的事。第五條卻在主張某件任意遙遠處才發生的事——那兩條線也許在離紙面一公里處相交，也許在一光年外。你永遠畫不出那個交點，只能憑信心接受。它看起來不像一條不證自明的起始真理，反倒像一條被某人忘了去證的定理。一個常見的現代改寫是普萊費爾公理，更為簡潔——過直線外一點恰有一條平行線——但它內部也帶著同樣那個無法驗證的「恰有一條」。
追緝：由另外四條證出第五條
若第五公設真是一條偽裝的定理，那它就應該能從另外四條證出。這便是那個夢想，兩千年來無數聰明人追逐著它。剝去第五公設的幾何——只剩前四條公設——有個我們會不斷使用的名字：中性幾何（又稱絕對幾何）。把這場追緝講精確，就是：把平行公設當作中性幾何的一條定理推導出來。托勒密在二世紀試過。波斯博學者奧瑪・海亞姆約於 1100 年試過。納西爾丁・圖西在十三世紀試過。英國人約翰・沃利斯在十七世紀試過。每個人都提出了一個看似滴水不漏的論證。
而每一個論證都有同樣的致命缺陷，儘管要花上好幾個世紀才看清楚：在證明的某處，作者悄悄假設了某件本身就暗中等價於平行公設的事。比方說沃利斯，他假設對任何三角形，你都能造出任意大小的相似三角形——也就是說，不同比例的相似圖形是存在的。這聽起來人畜無害。但結果是，沒有第五公設，你根本無法證明存在不全等的相似三角形；這個假設不過是披著戲服的平行公設罷了。所以那個「證明」是循環的：它用第五公設證出了第五公設。這就是吞掉了所有人的陷阱。
薩凱里：那個差一步抵達的人
最令人扼腕的擦身而過，屬於一位義大利耶穌會士喬瓦尼・薩凱里，他 1733 年的著作頂著一個自豪的書名《歐幾里得無瑕》。薩凱里有一個真正新穎的想法：與其正面強攻第五公設，他要假設它為假，磨出所有後果，並指望推到一個徹底的矛盾。若否定第五公設會導致荒謬，那麼第五公設就必為真——這是反證法。他的工具是一個如今稱為薩凱里四邊形的巧妙圖形：取一條底邊 AB，在兩端豎起兩條等高且 AB _|_ AD、AB _|_ BC 的垂線 AD 與 BC，再把頂端連成 CD。整個平行問題便化約為頂部兩個角，m(angle ADC) 與 m(angle BCD)。
D _______________ C the two summit angles are equal
| | by symmetry; call them theta
| |
| | Euclid (flat): theta = 90 deg (a rectangle)
| | obtuse case: theta > 90 deg
|_______________| acute case: theta < 90 deg
A B
AD = BC, AD _|_ AB, BC _|_ AB由對稱性，兩個頂角恆相等；記它們共同的度數為 theta。在尋常的平直幾何中 theta = 90 度，圖形是矩形——但那恰恰是薩凱里拒絕假設的。只在中性幾何裡工作，他找到了恰好三種邏輯可能：直角情形（theta = 90，這把歐幾里得還給我們）、鈍角情形（theta > 90），以及銳角情形（theta < 90）。他的計畫是藉著推出矛盾來「謀殺」那兩種非歐情形，讓直角成為唯一的倖存者。
他不願相信的那些定理
薩凱里公平地處理掉了鈍角情形：它確實與其他公設相牴觸（它與「直線無限長」的假設相撞），所以在他的設定下 theta > 90 是真正不可能的。接著他轉向銳角情形 theta < 90，預期又是一次速殺。沒想到，發生了非凡的事。他證出一條又一條定理，而沒有任何一條與任何東西相矛盾。他證明：在銳角世界裡，每個三角形的內角和都小於 180 度；兩條線可以永遠漸行漸遠卻不相交；矩形這種東西並不存在。這些很奇怪，但它們不是矛盾。他在不肯承認的情況下，推導出了一套全新且融貫的幾何的早期定理。
這裡有一齣人性的悲劇。薩凱里無法接受他自己書頁所告訴他的事。在數十個完全有效的推論之後，他遇到一個他就是嚥不下去的圖形——兩條線在「無限遠處」共有一條垂線——便宣稱它「與直線的本性相違」。憑著這份美學上的退縮，而非任何邏輯矛盾，他宣告勝利，並彷彿歐幾里得已獲昭雪般地出版了。他已把新的幾何握在手中，卻因為它冒犯了他而鬆了手。銳角情形並非為假；它就是雙曲幾何，早了約莫一個世紀。
三個人，一場解放
突破出現在 1800 年代初，而誠實的歷史是：它獨立地降臨在三個人身上——功勞屬於這三人全體。卡爾・弗里德里希・高斯，那個時代最偉大的數學家，私下推導出了它卻一字未發表，唯恐遭人嘲笑；他的筆記與書信顯示他在 1810 年代就已掌握。年輕的匈牙利軍官亞諾什・鮑耶發展了它，並於 1832 年發表了一篇著名的附錄；當他父親把這份成果拿給高斯看，高斯回信說他無法稱讚它，因為稱讚它就等於稱讚自己——對一個二十九歲的人來說，這讀來令人心碎。而俄國人尼古拉・羅巴切夫斯基發表得最早，自 1829 年起，完全獨力完成。三人共同邁出的那決定性一步，正是薩凱里邁不出的那一步：他們不再尋找矛盾，反而相信了那個銳角世界。
「相信它」作為數學是什麼意思？意思是這場兩千年追緝的失敗，終於有了它真正的解釋。第五公設無法從另外四條證出，因為它在邏輯上獨立於它們：你可以保留全部四條中性幾何公理並加上第五條，得到歐幾里得；也可以保留全部四條並加上它的否定，得到一套不同卻同樣融貫的幾何。兩種選擇都合法。從來沒有任何證明成功的原因，是那裡根本沒有定理可證。原來幾何在道路上有一個真正的岔口——而「過一點有幾條平行線」是你要做的選擇，不是你能推出的事實。
可是這套新幾何真的安全嗎？
還剩一個顧慮，正是縈繞著薩凱里的那一個：也許銳角世界裡的矛盾只是藏了起來，深埋在百萬條定理之下，而鮑耶與羅巴切夫斯基只是還沒走到那裡罷了。相信，跟證明它安全，並不是一回事。誰能確定這套新幾何永遠不會自相矛盾？你不可能永無止境地推導定理來檢查。這恰恰是你在上一階尾聲遇到的相容性問題，而答案是數學中最美的想法之一。
你建一個模型：一本誠實的字典，把新幾何的每個詞——「點」、「線」、「距離」——翻譯成住在尋常歐氏幾何裡的物件，且翻譯得讓所有新公理都成真。貝爾特拉米、克萊因與龐加萊在 1860 與 1870 年代正是這麼做的，把雙曲幾何畫成一個熟悉的歐氏圓盤上的圖。其邏輯回報極為巨大：若雙曲幾何裡有任何東西自相矛盾，這本字典就會把那矛盾翻譯成歐氏幾何裡的一個矛盾。所以新幾何與舊幾何一樣安全。它們同生共死。這一階接下來的四篇導引，很大程度上正是這些模型的故事，以及它們所揭示的那個奇異而美麗的世界。
帶三件事上階梯。第一，第五公設是獨立的：從另外四條既不可證，也不可否證——這就是為什麼兩千年的追緝一無所獲。第二，這套新幾何是被發現的，而非被發明的，由高斯、鮑耶與羅巴切夫斯基獨立發現，而且它完全相容，因為我們能把它模型化在歐幾里得自己的幾何之中。第三，最深的教訓是解放，而非破壞：更動一條公理不會產出胡言亂語，它產出一個有著自身忠實定理的新世界。內角和不足 180 度的三角形，正在第二篇等著你。