一疊硬幣的想法
拿一疊一模一樣的硬幣，整齊地立成一個漂亮的圓柱。現在用拇指沿著側面一推，把這疊硬幣剪切成一座歪斜、東倒西歪的塔。沒有任何一枚硬幣改變過；你只是把每一枚輕輕推到一個新的水平位置。所以金屬的總量——也就是體積——和原來分毫不差，儘管那個歪斜的立體看起來相當不一樣。這個頑固的事實：把各層往側邊滑動並不會改變總量，正是 卡瓦列里原理 的全部核心。
乾淨地敘述：假設兩個立體夾在同一對平行平面之間——一個地板、一個天花板。用其間任何一個水平平面去切兩者。如果在每一個高度，兩個橫截面的面積都相等，那麼這兩個立體的體積就相等。截面的形狀在兩個立體之間可能差異極大；唯一要緊的是，一層一層地，它們的面積相符。這是一個你也能在平面上跑的想法的三維表親：兩個區域夾在同一對平行線之間，若在每一個高度它們的水平橫截線段都等長，則它們圍出相等的面積。
為什麼它成立（以及它為何暗示了微積分）
直覺正是那疊硬幣。想像把每個立體切成許許多多極薄的水平薄片，每片薄到它的體積大致就是它的橫截面積乘以它微小的厚度。如果在每一個高度兩個立體呈現相等的橫截面積，那麼它們相對應的薄片便有一一相等的體積。把第一個立體所有薄片加起來，把第二個立體所有薄片加起來，你是在把兩串相等的數字相加——所以總和相符。這就是論證的精神所在，而且就其所及是誠實的。
但請注意那個柔軟的地方：一片有真實厚度的薄片，並不恰好等於它的面積乘以厚度——它的側邊在那段厚度上可能略微外擴或內縮。把薄片切得更薄會縮小誤差，而誠實地把誤差一路推到零的方法是取極限。那個極限正是積分：體積就是橫截面積 A(h) 在高度 h 從地板掃到天花板時的積分。卡瓦列里在 1630 年代工作，那時微積分尚無嚴謹的根基，他的原理最好看作積分提早一個世代投下的一道美麗而正確的影子。我們在這裡把它當作一個實用工具來用，把完整的 epsilon 與 delta 的論證留給上面的微積分梯級。
兌現它：為什麼角錐是三分之一
上一篇給了你 角錐 的體積是底乘高的三分之一，柱體則是底乘高。卡瓦列里正是讓傾斜的斜角錐能與直立的角錐共用同一個公式的關鍵。用一個位於高度 h 的平面，去切一個斜角錐和一個底全等、高相同的直角錐。由 相似，每個橫截面都是底面的縮小複本，縮小的比例只取決於 h——所以在每一個高度，兩個角錐呈現的橫截面積相等。卡瓦列里於是宣告它們的體積相等：把角錐扳倒並不改變什麼。
同樣的切片也解釋了三分之一本身，而不只是斜不斜的問題。一個經典的剖分把一個三角柱恰好切成三個等體積的角錐；卡瓦列里就是證明那三塊體積確實相等的工具，因為你能把它們的橫截面層層對應。三個相等的角錐填滿一個柱，所以每個角錐是同底等高的柱的三分之一。那神祕的 1/3 並不是從帽子裡變出來的數字——它是一個柱的三片切片，而卡瓦列里是裁定這個切分公平的裁判。
壓軸好戲：球的體積
這就是讓每個人都愛上切片的那個結果。我們想要半徑 r 的半球的體積。訣竅是找一個第二個、比較容易的立體，它的切片偷偷與半球的相符，然後把答案讀出來。把半球的平面那一側朝下立著。在它旁邊，立一個半徑 r、高 r 的圓柱，並從那個圓柱裡挖掉一個圓錐，這個圓錐的尖端在底部中心、張開的口就是頂部的圓緣。我們將在離地板高度 h 處切開這一切，並比較面積。
在高度 h 切開半球。由 畢氏定理，那裡的圓盤半徑是 sqrt(r^2 - h^2)，所以它的面積是 pi 乘 (r^2 - h^2)。現在在同一個高度 h 切開圓柱挖掉圓錐後的立體。圓柱給出一個面積 pi 乘 r^2 的完整圓盤。那個圓錐的半徑從底部的 0 長到頂部的 r，在高度 h 處半徑恰好是 h，所以被打穿的洞是一個面積 pi 乘 h^2 的圓盤。剩下的圓環面積是 pi 乘 r^2 減去 pi 乘 h^2，也就是 pi 乘 (r^2 - h^2)。兩個面積在每一個高度都完全相同——所以由卡瓦列里，這兩個立體體積相等。
At height h, both cross-sections have area pi (r^2 - h^2):
hemisphere slice (a disk) cylinder-minus-cone slice (a ring)
radius sqrt(r^2 - h^2) outer radius r, inner radius h
area = pi (r^2 - h^2) area = pi r^2 - pi h^2 = pi (r^2 - h^2)
Volume(hemisphere) = Volume(cylinder) - Volume(cone)
= pi r^2 * r - (1/3) pi r^2 * r
= (2/3) pi r^3
Whole sphere = two hemispheres = (4/3) pi r^3現在我們只要把那個容易的立體讀出來。圓柱的體積是 pi 乘 r^2 乘 r，而被挖掉的圓錐，由上一篇的三分之一法則，體積是它的三分之一。相減後半球剩下三分之二的 pi 乘 r^3，再加倍就得到整個 球 那著名的 (4/3) 乘 pi 乘 r^3。沒有動用微積分——只用了一個畢氏半徑、圓 的面積、圓錐的三分之一，以及那唯一的一份信念：相符的切片意味著相符的體積。這就是卡瓦列里原理掙得它的飯錢。
體積如何縮放：平方立方律
切片也讓一個縮放的事實變得顯而易見。如果你把一個立體在每個方向都放大 k 倍——寬兩倍、高兩倍、深兩倍——那麼每一個水平切片都變成按 k 縮放的相似圖形，所以每一個橫截面積都乘上 k^2。把面積全都增長了 k^2 倍的切片，疊在一個也增長了 k 倍的高度上，總體積就增長 k^2 乘 k，也就是 k^3。長度按 k 縮放，面積按 k^2，體積按 k^3。這就是 平方立方律，而它就直接從同樣的逐層記帳裡掉出來。
後果既鮮明又有點無情。把一座雕像的高度加倍，你並沒有把它的重量加倍——你把它乘上了 2^3 = 8，而它的表皮（一個表面積）只增長了 2^2 = 4。這個不對等，正是為什麼螞蟻能不在乎一次摔落而大象不能、為什麼碎冰比一整塊冰更快冰鎮飲料，以及為什麼一個人形的巨人站不起來：橫截面積只增長 k^2 的骨頭，得撐起一個增長了 k^3 的重量。平方立方律不是生物學的一個怪癖；它是幾何在堅持面積與體積以不同的速率增長。
誠實的界限與最後一瞥
卡瓦列里原理威力強大，但它有值得明白講出的細則。切片必須由真正平行的平面切出，而兩個立體必須夾在同一對平面之間——共用一個地板和天花板，而不只是相似。相符的條件落在面積上，所以你可以自由地把一個三角形切片換成一個等面積的圓形切片，但你不能放寬它們必須在每一個高度都相符的要求；一個不符的高度，結論就作廢。而且這個原理是在比較兩個立體——它本身並不直接交給你一個數字。你仍然需要一個你已經信得過其體積的、容易的參考立體，這正是為什麼球的論證倚靠了一個圓柱和一個圓錐。
從這個梯級的頂端望去，你遇過的每一個體積公式都是同一個家族。柱和圓柱是不變切片的堆疊；角錐和圓錐是依相似收縮到一個點的切片的堆疊；球是一疊圓盤，其半徑依畢氏定理而彎折。卡瓦列里是貫穿它們的那條線——體認到一個體積不過就是它的切片總和。把這幅圖帶到微積分裡，薄片的非正式總和就變成 A(h) 的積分，同一個想法被嚴謹化。你一路以來其實一直在做嬰兒版的積分，而你靠的不過是圓的面積和一隻穩穩握刀的手。