角柱、角錐、圓錐與球的體積

體積在數什麼，以及那個誠實的單位

在上一篇，你計算了表面積——一個立體所穿的那層皮有多大。體積問的是另一個問題：這個立體填滿多少空間、能裝多少水？那個誠實的單位是單位立方體，一個小小的 1 乘 1 乘 1 的方塊，而任何立體的體積，就只是你需要多少個這樣的方塊才能把它恰好填滿。一個長 3 單位、寬 4、高 2 的盒子，裝得下 3 乘 4 乘 2 = 24 個這樣的方塊，這就是本篇每個公式背後的整個想法。面積以平方單位計，體積以立方單位計；這正是為什麼體積公式總是相乘三個長度，而表面積只乘兩個。

在進入公式之前，先把詞彙釘好。一個立體的底是你選來讓它坐立的那一面，而它的高是從那個底筆直向上、到最頂點或頂面的垂直距離——沿著一條 _|_ 底的線去量，絕不是沿著傾斜的邊。把高保持為垂直，是最常見的一個失誤，所以我們會小心守住它。把底面積寫成 B、高寫成 h，我們四個立體中有三個，最後都會服從僅有的兩條規則之一：像角柱的立體用 B 乘 h，而尖頂的立體用它的三分之一。

角柱與圓柱：底乘高

角柱是一個有兩個全等且平行的面——底——並由筆直的側面連接的立體，使得每一片水平切面都是底的完美複本。想像一疊一模一樣的撲克牌：每張牌都是底的形狀，整疊就是這個角柱。如果一張牌的面積是 B，整疊升到高度 h，那麼角柱的體積就只是 B 乘 h，一張牌的面積乘以這疊牌站得多高。圓柱是同樣的故事，只是換成圓形的牌，所以它的體積是圓的面積 pi r^2 乘以高 h，得到 pi r^2 h。

角錐與圓錐：三分之一從何而來

角錐有一個底和它上方的單一頂點，側面向那個尖端收攏；圓錐是圓的版本，一個圓形的底收窄成一個點。角錐的體積是對應角柱的三分之一：(1/3) 乘 B 乘 h，而圓錐同樣是 (1/3) pi r^2 h。這個三分之一確實令人意外——為什麼是三分之一，而不是、比方說一半？最乾淨而誠實的答案，是一個你幾乎能用雙手做出來的分割。

拿一個立方體，選定一個角。從那個角，扇形展開出三個正四角錐，每一個都以遠離該角的三個面之一作為底，以選定的那個角作為頂點。
那三個角錐形狀完全相同，而且它們拼合起來把立方體完全填滿，沒有縫隙也沒有重疊。所以三個相等的角錐，組成一個立方體。
立方體的體積是 B 乘 h（這裡底的正方形與高相等），三個相同的角錐均分它，所以每個角錐是三分之一：(1/3) B h。藉由卡瓦列里原理，這個論證可推廣到每一個角錐和圓錐，因為拉伸或推移會同步地縮放底與高。

球：它那個盒子的三分之二

球是皇冠上的明珠。它的體積是 (4/3) pi r^3，而這個看似孤零零的數字藏著一段美麗的關係。把一個半徑為 r 的球，恰好塞進容得下它的最短圓柱裡——一個半徑為 r、高為 2r（也就是直徑）的罐子。圓柱的體積是 pi r^2 乘 2r = 2 pi r^3。球的體積，(4/3) pi r^3，恰好是這個圓柱的三分之二。阿基米德覺得這實在太驚人了，於是要求把球內接於圓柱這個圖刻在他的墓碑上。

在微積分還不存在之前，怎麼可能有人知道答案是三分之二？靠的是一個巧妙的切片論證，又是卡瓦列里原理的近親。把半球，與一個半徑 r、高 r、並從中挖掉一個尖端朝下的圓錐的圓柱相比較。在任意高度把兩者切開：從半球切下的圓盤，竟然與從挖空圓柱切下的圓環有完全相同的面積，一層一層一路向上都如此。每一層的切片都相等，就迫使體積相等，而挖空圓柱的體積是個容易的差：（圓柱）減（圓錐）= pi r^3 減 (1/3) pi r^3 = (2/3) pi r^3，這是半球的；加倍就給出整個球的 (4/3) pi r^3。

Slice both solids at height y (0 <= y <= r):

  HALF-SPHERE                 CYLINDER MINUS CONE
  cross-section is a disk     cross-section is a ring (annulus)
  of radius sqrt(r^2 - y^2)    outer radius r, inner radius y

  disk area                   ring area
  = pi (r^2 - y^2)            = pi r^2 - pi y^2
                             = pi (r^2 - y^2)

  SAME at every height  =>  SAME volume  (Cavalieri)
  half-sphere = pi r^3 - (1/3) pi r^3 = (2/3) pi r^3
  whole sphere = (4/3) pi r^3

一層一層對應的切面：半球與挖空的圓柱每層切片相等，所以體積相等——這就是球體積公式的切片證明。

錐台、組合體，以及體積如何縮放

真實的物體很少是單一乾淨的立體，所以還有兩個工具讓工具箱完整。第一，用一個平行於底的切面把圓錐或角錐的頂端切掉，你就得到一個錐台——一個水桶或燈罩的形狀。它的體積是你一開始那個大圓錐，減去你切掉的那個小圓錐，兩者都用三分之一規則算；確實有一個簡潔的封閉公式，但要記住它，誠實的方法就是大減小。第二，對任何組合體——比方說一個下面是圓柱、上面頂著半球的穀倉——求出每個乾淨部件的體積再相加，或減去被挖空的部件。

最後，一個你在相似那一梯級遇過的縮放事實——平方—立方定律——值得在這裡再看一眼。如果你把一個立體以因子 k 縮放——加倍，所以 k = 2——每個長度增為 k 倍，但面積增為 k^2 倍，而體積增為 k^3 倍。把球的半徑加倍，它裝得下 2^3 = 8 倍那麼多，而不是兩倍。這個單一事實解釋了為什麼巨人不可能只是放大版的人（體重隨體積 k^3 增長，但骨頭強度只隨截面 k^2 增長），為什麼碎冰比整塊冰融化得快，以及為什麼大型動物較不容易過熱。體積那頑強的立方，是幾何最深遠的後果之一。