表面積：把立體包起來

從平面面積到立體的表皮

在本段的前兩篇裡，你學會了量平面區域：任何多邊形的面積，連麻煩的那些也能靠海龍公式，圓盤則靠 pi 與圓面積。現在我們把這些本領從紙上抬起。一個立體——立方體、圓柱、圓錐——有一個外側，而那個外側本身是一張由你早已會量的幾片所構成的表面。立體的表面積就是那張外皮的總面積，也就是恰好把立體包覆、不重疊也不留縫所需的包裝紙量。

整個主題立基於一個誠實的動作：絕不在三維中直接量面積。而是沿著某些稜把表皮剪開，攤平在桌面上。一旦它平放，便不過是一些多邊形與圓形碎片的排列，而總表面積就是那些平面面積的單純相加。把表皮折回立體並不改變表皮有多少——面積在彎折中不變，所以攤平後的圖像給出的就是真正的答案。

展開圖：把盒子攤開

把帶平面的立體攤平，最乾淨的方式是畫出它的展開圖：把每一面展開到平面上、讓它們沿共用邊相連，所得到的那個連通的二維圖樣。一個紙箱割開壓平，就是一個長方體的展開圖；一個紙立方體展開成熟悉的六個正方形的十字。展開圖一旦畫出，表面積便不過是展開圖的面積——而展開圖只是一些多邊形，那正是多邊形那篇早已教過你量的東西。

取一個長 l、寬 w、高 h 的長方體。它的六個面成三組相配的對：兩個面積為 l * w（頂與底）、兩個面積為 l * h（前與後）、兩個面積為 w * h（兩側）。相加得長方體的表面積 S = 2(l*w + l*h + w*h)。對立方體，每條稜都是同一長度 a，所以六個面都是 a^2，公式收縮為 S = 6 * a^2——六個正方形，正是你展開的那張展開圖。

求一個 5 乘 3 乘 2 的盒子的表面積：先認出三組面對。
各對面積：l*w = 5*3 = 15，l*h = 5*2 = 10，w*h = 3*2 = 6。
相加後乘以二取相配的那一對：S = 2(15 + 10 + 6) = 2 * 31 = 62 平方單位。
驗算：一個單位立方體會得 6，而我們的盒子每邊都更大，所以幾十個平方單位是合理的。

圓柱與圓錐：把曲面攤開

一個圓柱——一個湯罐——有兩個平的圓端與一面彎曲的側壁。平端很容易：兩個圓盤，各面積 pi * r^2。難在那面彎壁，而展開圖的想法再度救我們。沿著側壁直直剪開並攤開，它便鋪成一個完美的矩形。它的高是圓柱的高 h，它的寬恰好是繞圓一圈的距離——你在上一篇量過的圓周長 2 * pi * r，因為那正是側壁包繞的長度。所以側壁的面積是 (2 * pi * r) * h，整個圓柱則有 S = 2 * pi * r^2 + 2 * pi * r * h。

圓錐更微妙，它逼出一個新的量。它的底是面積 pi * r^2 的圓盤，但斜面攤平時並不成矩形——展開後，它成為一個更大圓的扇形。這裡要緊的長度不是圓錐的鉛直高，而是它的斜高 l，也就是從底緣沿斜面到頂點的直線距離。算出那扇形的面積（這裡我們不細磨這道計算）給出曲面部分為 pi * r * l，所以整個圓錐有 S = pi * r^2 + pi * r * l。

拒絕被攤開的球面

球面打破了我們可靠的方法，值得誠實說明為何。球的表面無法在不拉伸或撕裂的情況下攤平到平面上——這正是為何每一張平面世界地圖都扭曲了各大洲。所以沒有乾淨的展開圖可攤，表面積也無法從攤平的圖像讀出。這條公式出自阿基米德：S = 4 * pi * r^2——球面的表皮，面積等於它四個平的圓截面。

那個「4」有一張好記的臉。把球從球心切開，截面是一個大圓，面積 pi * r^2 的圓盤——球所含最大的圓，地球儀的赤道。球面的面積恰好是那種大圓圓盤的四倍。這件事沒有簡短而完全初等的證明；阿基米德是把球與圓柱相比而發現它的，而乾淨的推導確實需要本階梯後段才會給你的積分學。我們在此忠實地陳述並信任它，而非假裝它有一句話的理由。

solid        surface area S
cube         6 * a^2
box          2(l*w + l*h + w*h)
cylinder     2 * pi * r^2 + 2 * pi * r * h
cone         pi * r^2 + pi * r * l        (l = slant height)
sphere       4 * pi * r^2

標準立體與它們的表面積——除了球面，都是平面碎片的相加。

為何尺寸加倍，表皮變四倍

看遍上面每一條公式，一個規律跳出來：每個表面積都是某個數乘以長度的平方。立方體：6 * a^2。球：4 * pi * r^2。圓柱、圓錐、長方體——全部，面積都按（長度）的平方縮放。這正是平方立方律在運作，它有一個鮮明的後果。若你把一個立體放大 k 倍而保持形狀，每段長度長 k 倍，但每塊面積長 k^2 倍。把一個模型尺寸加倍，它的表面積變成四倍大，而非兩倍。

體積，也就是下一篇要對付的，縮放方式又不同——按（長度）的立方，即倍數的三次方。k^2 的表面與 k^3 的內部之間的這道落差，是整個自然界中後果最深遠的事實之一。這是為何同樣總體積下，碎冰塊比一整塊大冰融得快（單位內部的表面更多），為何小動物散失體熱快，以及為何一個人形的巨人撐不住自身的重量。等掌握了體積，我們會再回到這裡。

所以一個立體的表面積，骨子裡是本段最簡單的想法：把表皮攤平，加總你早已駕馭的面積。長方體、圓柱與圓錐都誠實地展開成展開圖與扇形；唯獨球面抗拒，而我們依其道理接受阿基米德的 4 * pi * r^2。接下來我們踏進表皮之內，問這立體圍住了多少空間——也就是體積——那裡有卡瓦列里原理與同一條縮放律在等著。