圓拋出的難題
上一篇給了你一套完整的面積食譜：把任何直邊圖形切成三角形，把面積加起來，完成。連海龍公式與最彆扭的多邊形都臣服於這一招。圓卻安靜地拒絕。它沒有頂點可連、沒有邊可三角化——它從頭到尾都是彎的。所以在我們能談它的圓周長或面積之前，需要一個真正全新的點子：你要怎麼丈量一個從不筆直、連一瞬間都不筆直的東西？
回想四邊形與圓那一階梯裡圓的定義：固定一個圓心 O 與一個半徑 r，圓就是所有與 O 恰好相距 r 的點。從圓的構造你已經有了需要的詞彙——直徑 d 是最長的弦，筆直穿過 O，恰好是半徑的兩倍，d = 2r。我們想釘住的兩個量是圓周長 C（沿著曲線繞一圈的距離）與面積 A（圓盤圍住的平面空間有多少）。這兩者最後都將由同一個常數所支配。
圓周率：所有圓共用的一個比值
這裡是讓一切成為可能的發現。取任何一個圓，大的小的都行，量兩件事：繞它一圈有多遠（圓周長 C）、橫越它有多遠（直徑 d）。拿一個去除以另一個。你永遠得到同一個數字——大約 3.14159——不管你選的是哪個圓。一枚硬幣、一個餐盤、地球的赤道：每一個的 C 除以 d 都等於同一個常數。我們把這個常數命名為 pi。
為什麼這個比值對每個圓都一樣？因為所有的圓都相似——把一個圓以一個比例因子 k 放大，就得到另一個圓，每一個長度（包括圓周長）都乘上同一個 k。如果圓周長與直徑以完全相同的方式縮放，它們的比值就不可能改變。所以 C 除以 d 是「圓本身」的性質，而非任何特定一個圓的性質。那個固定的比值，依定義就是 pi，我們可以把它重排成你將永遠使用的公式：C = pi 乘以 d，或者，既然 d = 2r，更乾淨的 C = 2 pi r。
把圓周長夾在多邊形之間
把 pi 定義成一個比值是誠實的，但留下一個合理的問題：我們怎麼知道這個比值真的安頓在一個確定的數上，而不是飄移不定？阿基米德在兩千多年前就回答了，而他的點子至今仍最乾淨。在圓內緊貼地畫一個正多邊形，頂點碰到圓；再在圓外緊貼地畫一個，每一邊都與圓相切。圓的曲線被夾在兩個多邊形之間，所以它的周長必落在這兩個多邊形的周長之間——而多邊形的周長不過是直邊的總和，這正是第一篇教過我們去量的東西。
現在來夾擠。六邊形是個粗糙的圓，但十二邊形貼得更近，九十六邊形又更近，而隨著邊數攀升，內外的周長彼此爬近，把真正的圓周長夾得越來越緊。阿基米德把這推到九十六邊形，證明了 C 除以 d 落在 3 + 10/71 與 3 + 1/7 之間——也就是大約在 3.1408 與 3.1429 之間。他從未為 pi 寫下一個小數；他把它困在一個區間裡，讓多邊形說話。這個數之所以存在且良好定義，正是因為那兩道牆真的夾向它。
在繼續之前有一個微妙的誠實之處：這個論證悄悄假設了圓一開始就有一個良好定義的弧長可供夾擠——也就是內周長永遠在外周長之下，且兩者真的收斂到同一個共享值。這個收斂確實為真且可證明，但完全嚴謹的證明需要前方微積分階梯的極限機器。在這一階梯我們是忠實的，而非油滑：多邊形夾近的圖像完全正確，圖像與證明之間的縫隙，僅僅是極限的形式定義而已，你很快就會遇到它。
把圓盤攤開：為何 A = pi r^2
同樣的夾擠想法把面積交到我們手上，而且有一張圖鮮明到幾乎像作弊。把圓盤切成許多薄薄的扇形楔子，就像把一塊真披薩切成極多的細條。每一條幾乎是一個薄三角形：它的兩條直邊是長為 r 的半徑，而它彎曲的外緣是圓周長的一小片。現在把這些楔子排成一列，尖端朝上朝下交錯，它們便互相咬合成一個形狀，隨著細條越薄而越來越像一個矩形。
來量這個矩形。它的高是一個半徑的長度 r，因為每個楔子都從圓心伸到圓緣。它的長由所有那些彎曲的小外緣排成一列構成——但有一半楔子的外緣朝上、一半朝下，所以矩形的上緣恰好由總圓周長的一半拼成，也就是 2 pi r 的一半，即 pi r。所以這個矩形長 pi r、高 r，而矩形面積是長乘高：A = (pi r) 乘以 r = pi 乘以 r^2。圓盤與矩形容納同樣多的顏料，所以圓的面積是 pi r^2。
如果披薩的圖像感覺太鬆，這裡用上一節的多邊形得到同樣的結果，而它在精神上滴水不漏。一個正多邊形的面積等於它邊心距（從圓心到一邊的距離）的一半乘以它的周長——這正是第一篇的三角形求和，因為多邊形分裂成許多高都等於邊心距的三角形。隨著內接多邊形邊數增加，它的邊心距升向半徑 r，它的周長升向圓周長 2 pi r。把這些極限代入「二分之一乘以邊心距乘以周長」，你得到二分之一乘以 r 乘以 2 pi r，正好是 pi r^2。兩條路，同一個圓面積。
圓的切片：扇形與一個小例題
一旦握有 C 與 A，扇形——由兩條半徑與一段弧圍成的派切片——就不費吹灰之力。一整個圓是 360 度的轉動；跨過 n 度圓心角的扇形，不過是整體的 n/360 這個比例。所以它的弧長是 (n/360) 乘以 2 pi r，而它的扇形面積是整體面積的同一個比例，(n/360) 乘以 pi r^2。沒有新公式要背——只有圓盤的圓周長與面積，按扇形佔了多少整圈的比例去取。
在對的單位下，這個比例變得更漂亮。如果你用弧度而非度數來量圓心角——回想弧度是其弧恰好等於一個半徑的那個角——那麼角為 theta 的扇形，弧長是 r 乘以 theta，面積是二分之一乘以 r^2 乘以 theta，沒有 360、沒有雜物。這個乾淨的形式，正是數學家偏好弧度的全部理由：當角是用弧長而非任意切成 360 份來量時，圓自身的幾何便以最少的麻煩寫下它的公式。
- 一座圓形花園半徑 r = 7 公尺。求它的圓周長。用 C = 2 pi r = 2 乘以 pi 乘以 7 = 14 pi 公尺，約 44 公尺——但精確答案是 14 pi。
- 求它的面積。用 A = pi r^2 = pi 乘以 7^2 = 49 pi 平方公尺，約 154 平方公尺。注意單位：圓周長是長度（公尺），面積是長度的平方（平方公尺）。
- 一個 90 度的扇形（花園的四分之一）面積為 (90/360) 乘以 49 pi = (1/4) 乘以 49 pi = 12.25 pi 平方公尺，弧長為 (1/4) 乘以 14 pi = 3.5 pi 公尺。
- 用縮放做合理性檢查：半徑加倍到 14，圓周長加倍（28 pi），但面積變成四倍（196 pi）。長度以 k 縮放，面積以 k^2 縮放——這是你在第五篇將倚靠的規則。
pi 究竟有多奇怪——以及接下來是什麼
值得誠實面對這個小數字扎得有多深。pi 不僅是無理數；它是超越數，意思是它不是任何整數係數多項式的根——一個強得多也難得多的性質，遲至 1882 年才由林德曼證明。這個單一事實了結了一個古老的謎題：化圓為方——只用圓規與直尺，作出一個與給定圓面積相等的正方形——是不可能的。這個作圖需要從單位長造出一個長度 pi，而作圖那一階梯顯示了只有某些代數長度可以抵達——pi 既是超越數，便永遠在伸手不及之處。
退一步，看看你如今擁有什麼。兩條公式 C = 2 pi r 與 A = pi r^2 來自同一個方法——把曲線夾在多邊形之間，讓邊數倍增——以及同一個常數 pi，每個圓的圓周長對直徑的那個普世比值。同一個夾擠的動作即將擔起重得多的工作。第三篇用它包住圓柱、圓錐與球，求它們的表面積；第四篇用它填滿立體，求它們的體積；第五篇卡瓦列里的切片讓整套機器變得嚴謹。替它們全部，把一個事實放進口袋：把一個圖形以 k 縮放，長度成長 k 倍、面積 k^2 倍、體積 k^3 倍。