可以測量的線段、射線與角

從無盡的直線到可掌握的零件

在第一份指南裡，直線是一個未定義的起點詞：筆直、沒有端點、朝兩個方向無限延伸。這是個漂亮的想法，但你永遠畫不完整條，而尺也量不了無盡的東西。所以實用幾何的第一步，就是把直線切成我們真正抓得住的零件。

在直線上取兩個相異的點 A 與 B。它們之間的一切，連同 A 與 B 本身，就是線段，記作 AB；它的長度記作 |AB|。現在保留一端，譬如 A，把另一頭的封口拆掉，讓這段越過 B 永遠延伸下去——這就是射線，記作 ray AB。點 A 是它的端點，而 B 只是告訴你它指向哪邊。整條直線、線段與射線是三個確實不同的物件，從這裡開始，我們會很在意自己指的是哪一個。

介於關係，以及把數字放上直線的那把尺

在能夠測量之前，我們需要一個安靜的想法：介於關係。當 A、B、C 三點共線、且 B 落在線段 AC 的內部時，我們說 B 介於 A 與 C 之間——不在旁邊，也不越過任一端。你的眼睛從圖上一眼就讀得出來，但幾何拒絕靠眼力運作，因此介於關係要以誠實的定義釘死，而不是靠「看起來像」。

現在是通往數字的橋。直尺公設說：一條直線上的點可以和實數一一對應，使每個點都拿到一個座標，而兩點間的距離就是它們座標之差的絕對值。把一把理想化的尺沿著直線擺好；若 A 讀作 2、B 讀作 9，則 |AB| = |9 - 2| = 7。如同第二份指南裡歐幾里得自己的公設，這是我們約定採用、而非證明出來的規則——而它正是讓我們得以談論「長度」的根據。

長度會相加：線段加法公設

介於關係與直尺合起來，交給我們一條會不斷依靠的規則。線段加法公設說：若 B 介於 A 與 C 之間，則 |AB| + |BC| = |AC|。整體等於各部分之和——前提是中間那點真的落在另外兩點之間。正是這個小小的前提，說明了我們為何先大費周章定義介於關係。

A ------- B ----------- C
   |AB|=4     |BC|=6
   |AC| = |AB| + |BC| = 4 + 6 = 10

(If B were NOT between A and C, this equation can fail.)

線段的各部分加起來等於整體——但這僅僅因為 B 落在 A 與 C 之間。

最受歡迎的第一個應用是中點。當 M 介於 A 與 B 之間且 |AM| = |MB| 時，M 就是 AB 的中點。把這個對半分跟線段加法合起來，每一半都恰好是 |AB| / 2：若 |AB| = 10，則 |AM| = |MB| = 5。注意這裡我們並沒有拿尺去量——我們是從一個定義加一條公設推理而得，得到的是保證正確的答案。這正是證明所由構成的那一步。

角：兩條射線，以及「開多大」如何變成數字

從長度盪向開口。當兩條射線共用端點時，你得到的就是角；那個共用的點是頂點，兩條射線是它的邊。我們把角記作 angle ABC，頂點字母擺在中間——這裡 B 是頂點，而 A 與 C 只是各邊上的一個標記點。角的大小講的是兩邊張開了多遠，而不是你把邊畫多長；把邊拉長，什麼也不會改變。

要替那個開口繫上數字，我們用「度數」測量。想像一把量角器：一整圈是 360 度，平直的開口（兩邊指向恰好相反、構成一條直線）是 180 度，方正轉角的開口是 90 度。我們把測量值記作 m(angle ABC)，所以 m(angle ABC) = 90 表示一個直角。度數這套約定是人為的選擇——稍後在三角函數會遇到的弧度，是把同一個開口換種方式去數——但開口本身是真實的幾何事實。

一旦開口帶著數字，這些名字便依大小自然落定。在各種角的類型中，當 0 < m(角) < 90 時為銳角，m(角) = 90 時為直角，90 < m(角) < 180 時為鈍角，恰為 180 時為平角，超過 180 朝向 360 則為優角。這些都不是新公設——每一個都只是把測量值這條數線切成具名片段的定義，恰如先前用大小把線段切成兩半那樣。

角也會相加——而證明開始成形

我們替線段做過的每件事，都有一個角的孿生版本。若 D 是角 ABC 內部的一點，則射線 ray BD 把大角切成兩個，而角加法公設說 m(angle ABD) + m(angle DBC) = m(angle ABC)。規則的樣子和先前一樣：各部分加起來等於整體，只要那條切割射線真的落在內部。中點之於角的對應物是「平分線」——一條從頂點出發、把角切成兩個相等測量值的射線。

底下是這套結構，與接下來兩份指南要正式化的是同一套。我們從未定義的詞（點、線）出發，約定了少數幾條公設（直尺、兩條加法規則），再在其上定義出新的物件（線段、射線、中點、平分線、角）。定理會是下一層樓——那些我們有義務從這個基底證成的主張。能分辨我們所假設的公設與我們必須掙得的定理，就是猜測與證明之間的分野。

已知：B 介於 A 與 C 之間，M 是 AC 的中點，且 |AB| = 4、|AC| = 10。求 |MB|。
由線段加法公設，|AB| + |BC| = |AC|，所以 |BC| = 10 - 4 = 6。
由中點的定義，|AM| = |AC| / 2 = 10 / 2 = 5，所以 M 距 A 為 5。
B 距 A 為 4、M 距 A 為 5，兩者都在線段 AC 上，故 |MB| = |5 - 4| = 1。每一行都是一個定義或一條公設——沒有量測，純粹推理。