為何幾何學拒絕定義它最初的詞
翻開任何一本字典查一個詞，它的定義由別的詞構成，那些詞你也能再查，而那些詞又由更多詞構成。這條鏈條要嘛繞回自身，要嘛永無止盡。數學想讓每個主張都立於穩固之物上，無法忍受這種狀況。於是它做了一個大膽而誠實的決定：挑出極少數幾個詞，並約定永遠不去定義它們。
這些就是未定義詞。在平面幾何中，本質上有三個——點、線與面——再加上一個像「落在……上」的關係把它們連起來。我們不說點是什麼，也不畫一個小圖就宣稱那就是點。我們只是直接使用這個詞，之後再透過規則來釘住它的行為。一個未定義詞並不是理論裡的漏洞，而是理論誠實地賴以站立的基岩。
點：一個完全沒有大小的位置
想像鉛筆能畫出的最尖的一個點，現在想像把它無止盡地削尖——更窄、更細，直到它沒有寬度也沒有高度。剩下的，是一個純粹的位置，是「在哪裡？」這個問題的答案，卻沒有任何東西能再讓你問「有多大？」。這就是點：它有位置，卻有著零大小。我們用大寫字母為點命名：A、B、C。紙上畫的那個點只是替身，是個善意的謊言，因為真正的點小到看不見。
因為點沒有大小，它沒有部分、內部也空無一物。這正是歐幾里得在《幾何原本》中的第一句話：「點，是沒有部分的東西。」他其實並不是在定義它——你無法用更簡單的詞造出「點」——他是在描述他想放進你腦中的那幅圖像。兩個相異的點，不過是兩個不同的位置；而一個孤零零的點，永遠無法「介於」、「在……左方」或「比……長」。唯有當第二個點加入時，它才開始變得有趣。
線：筆直、無盡，且過兩點僅有一條
標出兩個點 A 與 B。在它們之間拉緊一條線，並越過兩端持續拉去，永不鬆垂、永不彎曲。那條完美筆直、無盡延伸的軌跡，就是線。在幾何學中，「線」這個光禿禿的字永遠指直線；它沒有粗細、沒有盡頭——我們畫在上面的箭頭，只是提醒它一直延伸下去。我們寫成「line AB」，用它上面任意兩個點來為它命名。
以下這條規則使線之所以為線，也是你能緊握住的第一塊真正的幾何：過任意兩相異點，恰有一條線通過。「至少一條」說的是你總能連起兩個位置；「恰有一條」說的是這從來沒有選擇的餘地——A 與 B 完全釘死了它們的線。這一句話正是歐幾里得公設之一，而它已經在挑大樑了。由它推得：兩條不同的線至多共有一個點；因為若它們共有兩點，那兩點就會逼得這兩條線成為同一條線。
三個或更多點若全都落在同一條線上，就稱為共線。任意兩點自動共線——總有一條線穿過它們——所以這個概念到三個點時才真正派上用場，並成為一個實在的問題：A、B、C 是否全落在同一條共同的線上？這個小小的問題，正是接下來幾乎每一條定理的種子。
面：永不終止的平坦桌面
現在把目光從線上移開，想像一張完美平坦的桌面——但沒有邊緣、沒有厚度，朝每個方向永遠延伸下去。那無盡的平坦，就是面。一張紙、一池靜水、一面牆：每一個都是面的一小塊有限碎片，而真正的面同樣太大、太薄，看不見。初等幾何大半完全活在這樣一個面之內，這正是它被稱為平面幾何的原因。
正如兩點釘住一條線，三點釘住一個面——前提是這三點不共線。過任意三個不共線的點，恰有一個平面通過。這正是為何三腳凳永遠不會晃，而擺在不平地面上的四腳椅卻會：三隻腳總會落在同一個確定的平面上，但第四個點可能執意懸在它的上方或下方。確實共有一個平面的點，就稱為共面，是共線在平面上的表親。
把三者合在一起
點、線、面在維度上層層相套——點是零維、線是一維、面是二維——它們透過幾條安靜的接合規則扣在一起：關於什麼落在什麼之上的規則。兩點決定一條線；三個不共線的點決定一個平面；若一條線上有兩點落在某平面內，則整條線都落在該平面內。這些都不加以證明。它們是約定好的起手式，而其餘的一切都將由它們論證而來。
A . . . . . . . B <-- two points
<---A-------B---> <-- line AB: the one line through them
C
\
\ A, B, C non-collinear
A---+---B --> one plane holds all three
於是你現在握有了幾何學的三個起始詞，它們被刻意留作未定義，再加上管轄它們的最初幾條規則。下一篇導引裡，我們會把這些規則正式化：把不加證明就接受的東西，與靠證明才賺得的東西分開，並認識掌管接下來整場遊戲的角色——公設、定義與定理。