梯子上再往下一階
你花了整整這一階梯學習克萊因（Klein）的一個大想法：一套幾何，就是某個 變換群 所保持不變的東西。你看著那道 階層 一路往下——最上面的 射影幾何 幾乎什麼都看不見，只看得到結合關係與交比；接著 仿射幾何 加進了平行與一線上的比例；再來 相似幾何 加進了角度與形狀；最底下是剛性的歐氏幾何，守護著每一段距離。每往下一階用的群就更小，因此保住更多的 不變量。這一篇要走的，是最後一道岔路。
新的問題來了。相似群同時守住兩樣東西：它守住角度，也守住直（直線仍是直線）。那如果我們對其中一樣貪心、對另一樣慷慨呢——堅持保住角度，卻同意徹底放掉「直」這件事？這樣一條直線就不必再保持是直線了。光是這一筆交易，就定義了 共形幾何：它的變換保持角度，但被允許去彎曲整個平面。
反演：把直線彎成圓的那一招
要建造這套幾何，我們需要一個真正全新的變換——一個上面任何一階都做不到的變換。它就是 對圓的反演。固定一個以 O 為圓心、半徑為 r 的圓。反演把一點 P 送到 ray OP 上的點 P'，使得距離之積滿足 |OP| 乘以 |OP'| 等於 r^2。緊貼在圓內側的點會飛到很遠；很遠的點會收進來；落在圓上的點則原地不動。它把整個平面隔著這個圓裡外翻轉，像一面鏡子的反射，只是這面鏡子是彎的。
反演會做兩件令人吃驚的事。第一，它是共形的：它保持每一個角度（不過它會翻轉旋向，就跟普通鏡子一樣）。第二——而這是整個主題的核心——它把直線與圓變成直線與圓，卻會自由地把兩者混在一起。一條不過 O 的直線，反演後變成一個過 O 的圓；一個過 O 的圓，反演後變成一條直線。剎那間，「直」與「圓」之間那道僵硬的分界線溶解了。從這套幾何的內部看，直線只是一種特別的圓。
默比烏斯變換：主導全局的那個群
現在來替這個群命名。把兩個反演複合起來，或把一個反演與一個反射複合，或疊上好幾個，你就生成了反演平面上一整族豐富的映射。其中保持旋向的那些——由偶數個反演造出、使翻轉互相抵消的那些——就是著名的 默比烏斯變換。它們是反演平面的共形對稱，並且恰恰按照克萊因所要求的方式構成一個群。這個群在梯子上比相似高一階：每一個相似都是默比烏斯變換，但大多數默比烏斯變換並不是相似。
用複數來標記平面上的點，就能把它們寫得極其簡潔。若我們把一個點記作 z，那麼每一個默比烏斯變換都有底下這個形式，其中 a、b、c、d 是常數，且 ad - bc 不為零。ad - bc 不為零這個條件，只是保證這個映射可逆——它不會把平面壓垮。
f(z) = (a z + b) / (c z + d), with a d - b c != 0 translation z + b (c = 0) scaling+turn a z (b = c = 0) inversion-ish 1 / z (the genuinely new ingredient) Every Mobius map is a product of these. z = infinity is an honest value: f sends z = infinity to a/c, and z = -d/c to infinity.
把這條公式對照階梯來讀，整篇就全部歸位了。令 c = 0，你就退回到一個相似（z 映成某常數乘以 z，再加一個平移）——也就是上一階。唯一真正新的部件是那個 1/z，那個反演，那一招能把一條直線捲成一個圓。所以共形／默比烏斯幾何恰好就是相似幾何，外加反演這一項新本領；而這一項額外的本領，代價就是「直」：在這套幾何裡，「是不是一條直線」已經不再是一個有意義的問題。
什麼存活了下來，以及那個能丈量一切的數
那麼這套新幾何的不變量是什麼——一個用默比烏斯之眼觀看的觀察者，還能丈量什麼？克萊因的紀律說：從群裡讀出來。距離沒了（反演毫不留情地拉伸它）。「直」沒了。但角度存活了下來，因為群裡的每個映射都是共形的——角度是共形幾何的頭號不變量。而那一類叫做「圓」（現在連直線也算進去）的對象，作為一個整體被保住了：圓永遠映成圓。這裡的觀察者仍能問「這兩條曲線是不是以直角相交？」、「這是不是一個圓？」，卻永遠不能問「這有多長？」、「這是不是直的？」。
還有一個不變量，而它是這個主題的明珠：四點的 交比。你在射影那一階遇過它，那時它是投影無法摧毀的那個數；如今它換上共形的裝束回來了。給定任意四個點，它們的交比是單獨一個數，而每一個默比烏斯變換都讓它保持不變。它是共形世界的那把尺——量的不是長度，而是四個點彼此之間那種更微妙、帶著射影味道的關係。關鍵在於，四個點共圓（落在同一個圓或同一條直線上）的充要條件，正是它們的交比是一個實數；這就是這套幾何辨認自己的圓的方式。
- 想把三個給定點 A、B、C 送到你任意指定的三個目標點？必定存在一個默比烏斯變換能辦到，而且恰好只有一個——三個點就把這個映射完全釘死。
- 標準技巧：造出把 A、B、C 送到簡單目標 0、1、infinity 的那個映射——直接從交比公式寫出來，因為 (z, A, B, C) 的交比，正是那個值 f(z)。
- 把兩個這樣的映射複合，你就能把任意三點拖到另外任意三點——這正是為什麼一個默比烏斯映射能把任意一個圓送到任意一個圓，甚至把整個圓盤送到整個上半平面。
誠實地說，這為什麼重要
這不是梯子盡頭的閒散好奇；它是一道連通諸世界的樞紐。你先前遇過的雙曲幾何兩個著名模型——龐加萊圓盤 與 上半平面——之所以是共形模型，正是因為它們的「直線」就是那些與邊界正交的圓弧，也就是反演懂得畫的那種弧；而它們的等距變換（雙曲世界裡的剛性運動）恰恰就是固定住圓盤或半平面的那些默比烏斯變換。從厄蘭根的觀點看，雙曲幾何骨子裡其實是默比烏斯幾何的一塊。你以為分開的兩階，結果是同一台機器。
本著整個階梯的精神，讓我誠實地交代兩件事。第一，「共形」嚴格說來只是一個局部的、關於每一點角度的承諾；它對距離可什麼好話都沒說，而距離正是反演能大幅扭曲的東西，所以別把默比烏斯映射想成溫和的剛性挪移——把它想成一張橡皮膜，它守住每一個極小的相交角度，卻把大尺度的圖像狠狠拉扯。第二，「默比烏斯映射把圓送成圓」這個工整的說法，只有在你採用反演平面的約定、把直線當成圓、把無窮當成一個點之後才成立；在赤裸裸的普通平面上，這句話確實有例外，為了工整而假裝沒有，那就是說謊了。
於是梯子收尾了。克萊因 1872 年的綱領，交給你一個單一、冷靜、可以拿去問任何幾何的問題——群是什麼，它保持什麼？ 從頂端往下跑，你就得到一趟導覽：射影保住結合關係與交比；仿射加進平行；相似加進角度與形狀；歐氏加進距離。離開主線岔出去，你會遇到共形／默比烏斯幾何——在這裡你交出「直」，換來反演的自由，而角度登基為王。每一套幾何都忠於自己的群——沒有哪一套比另一套更「真實」。這就是 厄蘭根綱領 整個、令人豁然開朗的要旨，而你現在握著它所轉動的那把鑰匙。