仿射幾何，以及它看得見什麼

一種由「它拒絕測量什麼」來定義的幾何

到現在，這一級開頭克萊因（Klein）的口號應該已像第二天性：一種幾何不是一張圖形清單，而是某個 變換群 的 不變量。選定你的群，幾何就自己選好了——它恰好是那群裡每一個運動都倖存下來的性質之總和。上一篇你由上而下爬過了 幾何的階層，看著每一級藉由縮小自己的群而獲得新的不變量。這一篇要停下來，住在某一特定的一級上，慢慢地、具體地問：它究竟看得見什麼。

仿射幾何 是你藉著「准許自己一項自由、又交出另一項自由」而抵達的一級。你保留的自由很慷慨：你可以拉伸、壓扁、推剪、旋轉、平移、甚至反射整個平面，只要你永遠不把一條直線折成曲線。你交出的，則是直尺與量角器。在仿射幾何裡，「一段線段有多長」「一個角張多大」根本沒有事實可言——那些數字不歸你知道。剩下的，是一個出人意料地豐富的世界，而把它的確切邊界學清楚，正是接下來的功課。

用座標寫出仿射群

要把一種幾何釘死，我們得精確替它的群命名，而仿射幾何的公式很乾淨。平面的一個 仿射變換 把每個座標為 (x, y) 的點 P 送到新的點 P'：先施加一個可逆的線性映射——乘上一個行列式不為零的 2×2 矩陣——再用一個固定的平移向量把所有東西滑動一下。線性部分允許拉伸與推剪；平移部分讓映射能移動原點。每個這樣的映射都可逆，且兩個複合起來又給出同一種類的第三個，所以它們構成一個如假包換的 群。

affine map:   (x, y)  ->  (x', y')

  x' = a x + b y + e
  y' = c x + d y + f

  with determinant  a d - b c  not equal to 0

  linear part = [a, b; c, d]   (stretch / shear / rotate / reflect)
  translation = (e, f)         (slide the whole plane)

留意這個群相對於其他群的位置。若你強迫那個矩陣是個保長度的旋轉或反射，你就降到歐氏幾何的剛體運動；在那之上再容許一個均勻縮放，你就得到 相似幾何。仿射群嚴格地比這兩者都大，因為它准許矩陣是 任何 一個可逆矩陣——包括那些把正方形推歪成斜平行四邊形的偏斜推剪。群越大、不變量越少：這正是整個階層賴以運轉的交易。

在模糊中倖存的：仿射不變量

現在輪到克萊因綱領對這一級的核心問題：有哪些性質是任何仿射映射都不會擾動的？第一，直性——仿射映射把每條線送成一條線，絕不送成曲線，因為公式對 x 和 y 是線性的。第二，平行性——若兩條線在映射前不相交，映射後也不相交，因為仿射映射既無法製造、也無法消滅一個交點。所以「這是一條線」與「這兩條線平行嗎」都是誠實的仿射事實，其真假與任何直尺無關。

更微妙的倖存者，正是賦予仿射幾何真正威力的那一個：一個點分一段線段的比值。取三個共線點 A、B、C。仿射映射會把長度 |AB| 與長度 |BC| 改得無從預測——那些數字消失了——但它精確地保住它們的 比值 |AB| / |BC|。最著名的特例是 中點：一段線段的中點，每一次都映到像線段的中點。一半永遠是一半，即使這兩半被拉成在物理上天差地別的長度。

還有一個不變量把整幅圖補齊：兩個面積的比值。在仿射幾何裡，單一面積毫無意義，因為一個推剪或拉伸會把每個面積都乘上同一個倍率——即矩陣部分的行列式。但正因為 每個 區域都被那同一個共同倍率縮放，兩個面積的商數就不受影響：若一個三角形在映射前的面積是另一個的兩倍，映射後仍恰好是兩倍。所以面積的比值活在仿射世界裡，即使絕對面積並不。

被抹去的：長度、角度與圓

對一種幾何誠實，意味著對「它看不見什麼」同樣說清楚。長度是第一個犧牲品：一個推剪能把一公分的線段變成十公分，卻讓一條平行線段原封不動，所以沒有任何仿射映射把 |AB| 當數字尊重。角度緊接其後。對一個正方形的角施加推剪 x' = x + y、y' = y，那個直角就張開傾斜了；垂直不是仿射性質，任何特定的角度測度 m(angle ABC) 也不是。說「這兩條線互相垂直」，根本就不是仿射幾何能判定的句子。

一個鮮明的犧牲品是 圓。在仿射的眼裡，圓一點也不特別——它不過是眾多橢圓中的一個橢圓，而仿射映射能把它壓成任何你想要的橢圓，或把一個細長橢圓拉回完美的圓。「圓」是個 相似 概念，要求各方向等量縮放，所以它住在低一級。仿射幾何 能 說的，是較弱的陳述：這條曲線是橢圓，而非比方說雙曲線——這個區別倖存了下來，因為它關乎曲線如何與無窮遠線相交，那是個射影兼仿射的事實，而非度量事實。

等仿射幾何：把面積放回去

克萊因綱領不是一道帶著固定階級的單一梯子；它是一份「從你喜歡的 任何 群造出一種幾何」的食譜。為了看這食譜實際運作，讓我們在仿射群上多栓一個條件，看一種新幾何冒出來。要求矩陣部分的行列式恰為 1（若你容許反射，則恰為 ±1）。這排除了每一個會縮放面積的映射，只留下保面積的那些。所得的這個較小的群，定義了 等仿射幾何，即保面積仿射映射的幾何。

因為我們縮小了群，必有一個新的不變量出現——而它確實出現了：絕對面積 本身，而不只是兩個面積的比值。在等仿射幾何裡，一個面積為 5 的三角形，無論你怎麼推剪都還是面積為 5 的三角形，於是「面積」終於又成了一個有意義的數字，儘管長度和角度仍然不可見。這正是埃爾朗根（Erlangen）的想法在微縮中運作：多套一個約束把群收緊，就恰好換得一樣你被允許測量的新東西。整個 階層 就是靠反覆執行這一步搭起來的。

1. 從完整的仿射群出發：所有映射 (x, y) -> (a x + b y + e, c x + d y + f)，其中 a d - b c 不為零。
2. 加上一條額外規則：行列式 a d - b c 等於 1（若容許反射則為 ±1）。
3. 驗證這個較小的集合仍是個群：乘積的行列式等於行列式的乘積，所以兩個行列式為 1 的映射複合起來仍是 1，逆映射也保持行列式為 1。
4. 讀出新的不變量：較小的群所保住的任何東西，現在都成了合法的測量——在這裡，絕對面積加入直性、平行性、中點的行列，成為等仿射幾何看得見的東西。

仿射幾何在梯子上的位置

退一步，看看鄰居。就在仿射幾何上方坐著射影幾何，它的群更大：一個射影映射可以把某些有限的點送到無窮遠線上、又把無窮遠拉回視野，所以它連平行性都不保——兩條平行線可以被映成兩條相交的線。仿射幾何，恰好就是你藉著 保護無窮遠線、禁止任何映射移動它，從射影幾何中找回的那一片。正是那一條限制，把平行性還給了你，這也就是為什麼「平行」是在仿射、而非射影，才成為一個穩定的詞。

就在仿射幾何下方坐著 相似幾何，再下方是歐氏幾何，各自藉由進一步縮小矩陣部分而抵達。把矩陣限制成一個帶縮放的旋轉或反射——各方向等量拉伸——你就找回角度、以及「同樣形狀」的概念，得到相似。連縮放也禁止，把拉伸倍率鎖在 1，長度就回來了：那就是歐氏幾何，最精緻、不變量最豐富的一級。完整的鏈 射影 ⊃ 仿射 ⊃ 相似 ⊃ 歐氏 是一條群逐漸縮小的鏈，倒過來看，則是不變量逐漸增多的鏈。

值得直白地說：這些幾何沒有哪一個是「真正的」或「正確的」那一個。埃爾朗根綱領 把問題整個重新框定：每一級都忠於它自己的群，而該用哪一個，取決於哪一個的對稱性與你的問題相符。在研究陰影的平行投影、或一個區域的形心、或關於中點與比值的定理嗎？那就是仿射的地盤，在那裡伸手去抓歐氏工具，只會讓你背上問題並不尊重的多餘結構。選擇幾何，就是選擇你同意忽略什麼。