群越小，幾何越豐富
從本級的第一篇導覽，你帶著克萊因的一句話：一個幾何，就是研究某個選定的變換群所保持不變的那些性質。從第二篇，你帶著一個群在空間上作用的機制——一個你可以複合、可以逆轉、可以放出去作用在點上的 變換群。現在我們把這兩個想法放在張力之下，看一個出人意料的東西掉出來：群的大小，和幾何的豐富程度，是往相反方向拉的。
用一口氣講直覺。一個性質要算作 幾何不變量，唯一條件是群裡的每一個變換都不動它。所以較大的群是個更嚴苛的裁判——更多的映射必須一致同意保住某個量，能通過篩選的量就更少。較小的群則是個更寬容的裁判——需要同意的映射更少，於是更多的量得以作為真正的、有意義的概念溜過去。把群縮小，那些先前看不見的性質，會突然變成這個幾何的真實特徵。
由頂到底建起這座塔
現在我們把這些幾何疊起來。訣竅在於：每個群都坐落在它上面那個群的裡面——每個歐氏運動都是一個相似變換，每個相似變換都是一個仿射映射，每個仿射映射都是一個射影映射。於是這些群像俄羅斯娃娃一樣層層相套，而這些幾何就構成一個乾淨的 幾何層級。塔頂是射影幾何，由最大的群統治——那些只保住關聯（哪些點落在哪些線上）的 射影對應。它是最寬容的裁判，所以幾乎什麼都不保留。
往下走一階，你就到了 仿射幾何。我們抵達這裡的辦法，是要求群把無窮遠線固定住、而非能自由地搬動它——具體來說，就是禁掉那些透視式的映射，只留下 仿射變換。換到這個較小的群，回報是兩個射影幾何叫不出名字的新不變量：平行變得有意義，一個點把線段分成的比例也變得有意義。平行線保持平行；中點仍是中點。然而距離與角度依舊被打亂——一個正方形可以被推剪成任意一個平行四邊形。
再往下一階，到 相似幾何。再把群縮小一次，讓它必須保住角度與長度的比值，雖然保不住長度本身。現在形狀是真實的了：相似三角形是貨真價實地相似，圓還是圓，角度的度量終於有了意義。你仍然釘不住的是絕對大小——這是藍圖與比例模型的幾何，其中 比例因子 是自由的，但比例是神聖的。再下一步，到那個最小的群，就讓你落到了地板上。
地板：歐氏幾何
塔的最底層，坐著你從小長大的那個幾何。它的群是四者之中最小的：剛體運動——平移、旋轉、反射——那些把圖形搬來搬去卻完全不使它變形的 等距變換。正因為這個裁判如此寬容，幾乎一切都作為真正的不變量存活下來：不只是關聯、平行、角度，連長度本身、面積與全等都保住了。這就是為什麼 a^2 + b^2 = c^2 是一條歐氏定理、而非射影定理——它談的是長度，而只有剛體運動群小到足以讓長度具有任何意義。
所以從地板往上看這座塔。歐氏幾何看見得最多——長度、角度、面積、平行、關聯，全都看得到。爬到相似幾何，你忘掉了絕對長度，但留住了形狀。爬到仿射幾何，你忘掉了形狀，但留住了平行與一條線上的比值。爬到射影幾何，你連那些都忘了，只死守著赤裸裸的關聯。每往上一步，都刻意地模糊了畫面中更多的部分，用細節去換一個更寬、更有彈性的容許運動群。
GROUP (size) GEOMETRY new things it can finally see
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projective (biggest) projective incidence, cross-ratio
> affine affine + parallelism, ratios on a line
> similarity similarity + angles, shape, ratios of lengths
> rigid motions Euclidean + length, area, congruence
(smallest)
bigger group -> fewer invariants -> coarser geometry
smaller group -> more invariants -> finer geometry射影幾何保住了什麼：交比
問一句也算公道：塔頂究竟保住了什麼沒有——如果射影映射把長度、比值、甚至中點都撕碎了，還有哪個數字是它尊重的嗎？恰好有一個著名的倖存者，而它正是你剛爬完那一級的鎮級之寶：交比。給定四個 共線 點 A、B、C、D，交比是一個把它們位置組合起來的單一數字，而每一個射影變換都不動它。它是那個最大的群也殺不死的、唯一的數量不變量。
交比與這座塔契合得很美。當你往下走、群縮小，交比身邊會出現越來越簡單的同伴。在恢復了平行的仿射幾何裡，交比退化了：把四個點之一送到無窮遠，它就塌縮成一個點把線段分成的單純比值——那個仿射不變量。在歐氏幾何裡，它與最基本的不變量並列，也就是距離 |AB|。那個單一的射影數字是祖先；那些樸實的學校幾何量則是它的後裔，一級一級地被解鎖。
一條岔出去的支線：共形與莫比烏斯幾何
這座四層塔很整齊，但厄朗根的想法並不限於單一一道樓梯——任何一個變換群都定義一個幾何，所以有些有用的幾何是往旁邊岔出去的，而非乾淨地夾在兩層樓之間。其中最美的一個是 共形幾何，它的定義群保住角度，卻被容許把直線彎成曲線。共形映射保住兩條曲線相交的角度，即便它自由地扭曲長度、面積與「直」這件事。
在平面上通往共形幾何最乾淨的入口，是 莫比烏斯變換 這一族。它們是把旋轉、平移、縮放，再加一個新材料——圓的反演（把圓內一點越過圓裡外翻轉）——組合起來造出的映射。這個合成的群最自然地活在 反演平面 上，也就是普通平面加裝一個單獨的無窮遠點，好讓連直線都封閉起來。在這個舞台上，莫比烏斯映射有一個華麗的定義性質：它總是把「圓與線」送到「圓與線」，把一條直線當作半徑無窮大的圓來對待。
注意這多麼忠實地服從克萊因。莫比烏斯幾何並不比歐氏幾何「更好」或「更差」；它只是另一個群的幾何，問的是另一個問題——當你可以彎曲、可以反演、卻必須保住每一個相交角時，圖形有哪些真理？它的不變量是角度，以及——又一次——一個交比（如今是用複數度量的四點交比）。同一套厄朗根配方——挑一個群、研究它的不變量——生出了一整片幾何的地景，而從射影到歐氏的那座塔，不過是其中最有名的一翼罷了。
誠實地讀完整張地圖
退一步看，厄朗根綱領 顯露出它真正的威力：它把一堆各自獨立的學科，變成一架井然有序的 不變量階梯。射影、仿射、相似、歐氏幾何並不是四個彼此競爭的理論，而是同一座塔，每一層都從上一層藉著縮小群、解鎖一個新不變量而得到。同一副鏡片，把共形與莫比烏斯幾何安置成一條鄰接的支線，而且——放眼遠看——連後面幾級那些彎曲的幾何，也成了由各自的對稱群所定義的表親。
兩個誠實的但書，使這幅圖不致淪為童話。其一，那條俐落的「群越大、不變量越少」規則，只有在一個群真正坐落於另一個群之內時才精確成立；像共形這種岔在旁邊的幾何，並不單純地排在歐氏地板之上或之下——它們回答的是一個全然不同的問題。其二，厄朗根的觀點美妙地統一，卻不是最終定論：它描述的是擁有可遞對稱群的幾何，而微分幾何裡那些深度彎曲、曲率可逐點變化的空間，最終需要黎曼那套更豐富的語言，那會在很後面的一級交給你。克萊因整理了一個遼闊而美麗的國度；他並沒有把整個幾何世界都圈進來。