從口號到機制
在上一篇導引裡你遇見了克萊因的大想法：一門幾何不是一張圖形清單，而是一個容許運動的群，它的定理恰好就是那些運動保持不變的事實。這是個漂亮的口號，但口號還不是方法。要真正用這種方式來做幾何，我們得把一句話釘死講清楚——讓一個變換群作用於空間究竟是什麼意思。這一階的一切，那整座嵌套的幾何階層，都建立在把這一個定義講得鋒利之上。
先認識登場的角色。一個變換不過是一條規則，把平面的每個點搬到平面的某個點，而且可逆——沒有東西消失、也沒有東西重複。平移把每個點向右滑三單位；旋轉繞著一個固定中心轉動平面；對一條線的鏡射把它翻面。每一個都是平面到自身的可逆映射，而且你能把它復原。一整個變換群，就是這類映射的一個集合，對兩種習性封閉：先做一個再做一個，仍留在集合裡（合成）；而且每個成員的「復原」也在集合裡（反元素）。「什麼都不做」的單位映射也永遠在裡頭。
作用這個詞把群繫到空間上。我們說一個群 G 作用於平面，意思是把 G 的每個元素 g 配上平面的一個實際變換，並且這配法要尊重群的記帳：單位元素什麼都不做，而群裡兩元素的合成，要對應到它們兩個變換的合成。用符號寫，若把 g . P 記作「g 把點 P 送到何處」，那麼單位元素把 P 送到 P，而（先 g 後 h）. P 等於 h . (g . P)。這份相容性就是群作用的全部內容——抽象的群與具體的運動齊步行進。
軌道：一個點所能變成的一切
一旦群開始作用，第一個問題就是：從單獨一個點 P 出發，我能到達哪裡？把群裡每個變換都施於 P，收集所有落腳處。這個集合就是 P 的軌道。軌道回答了「P 被允許變成什麼？」——而它完全取決於是哪個群在作用。取所有剛體運動（平移、旋轉、鏡射——那些保持距離的運動）所成的群，則任何一點的軌道就是整個平面，因為你能把任意一點滑到任意另一點上。
把群縮小，軌道也跟著縮小。只取繞固定中心 O 的旋轉。此時點 P 的軌道就只是過 P、以 O 為心的那個圓，因為旋轉 P 恰好掃出那個圓、別無其他。只取單一個映射「對線 L 鏡射」。線外一點 P 的軌道就是那一對點 {P, P'}，其中 P' 是鏡像——兩個點，不多不少。群越豐富，軌道越大；一個極小的群幾乎搬不動任何東西。
穩定子：一個點按住了什麼
軌道問的是一個點能跑到哪裡。它的孿生問題問相反的事：哪些變換讓這個點恰好待在原地？固定一點 P，收集所有滿足 g . P = P 的群元素 g——也就是每一個把 P 釘住的運動。這個集合自身就是一個群（單位元素固定 P；若兩個運動都固定 P，則它們的合成與反元素也固定 P），稱為 P 的穩定子。軌道度量 P 動得多自由；穩定子度量它能被按得多牢。
用一張圖就生動了。在剛體運動群裡，什麼固定選定的一點 O？你可以繞 O 把平面轉任意角度，也可以對過 O 的任意一條線鏡射——但你不能平移，因為任何非零的滑動都會把 O 移走。所以 O 的穩定子，是繞 O 的所有旋轉與鏡射所成的群：在二維裡這就是正交群，也就是把一點看成一個無特徵圓盤之中心時的對稱。每個點都有同樣形狀的穩定子，因為在完整的群下所有點都可互換。
軌道與穩定子並非互不相干——它們彼此權衡，而這份權衡是整個學科裡最有用的事實之一。粗略地說：軌道越大（P 能去的地方越多），穩定子就越小（能把 P 按住的運動越少），反之亦然，因為群的總「大小」被分配在「移動 P」與「固定 P」之間。當軌道是一切、而穩定子是單一點的旋轉與鏡射時，你看見的就是赤裸的歐氏平面。較小的穩定子，標誌著一個更豐富、可供漫遊的空間。
不變量：幾何本身
克萊因的口號就在這裡變成一個能用的定義。一個圖形的性質，若不論你先施用群裡哪個變換、結果都一樣，那它就是這個作用的幾何不變量。在剛體運動群下，兩點之間的距離 |AB| 是不變量：隨你怎麼把這對點滑動、旋轉或翻面，|AB| 都不變。角的度量 m(angle ABC) 也是，三角形的面積也是。這些倖存者——群碰不動的那些量——恰恰就是那門幾何的合法陳述。不變量就是那門幾何。
這把你一路爬上階梯、卻沒替它命名的一個問題重新框定了。「這兩個三角形全等嗎？」真正的意思是「有沒有一個剛體運動把其中一個恰好搬到另一個上？」——也就是說，在剛體運動群作用於三角形時，它們落在同一條軌道上嗎。熟悉的全等判別（SSS、SAS、ASA）就是偵測這件事的捷徑。愛爾蘭根的觀點並沒有把你的舊幾何丟掉；它解釋了為什麼距離與角自始至終都是該量的東西——因為它們正是你一直默默置身其中的那個群的不變量。
群越大，不變量越少
現在輪到讓這一階成形的回報了。這些群本身一個套著一個，而這層套疊跑的方向，與不變量的豐富程度相反。只容許剛體運動，你保留的最多：距離、角、面積、平行、直。容許剛體運動再加上均勻縮放——即相似群，它還含一個把圖形放大或縮小的伸縮——則距離沒了（你可以隨意放大 |AB|），但距離的比值與所有的角都倖存。群越大，不變量嚴格地越少。
再鬆一些。仿射群加進了剪切，以及沿不同方向各自獨立的伸縮；此時連角、以及不同方向上的比值都破了，但平行與直仍然成立——平行線保持平行，線保持是線。再鬆一步到上一階的射影群，平行終於也垮了（平行線在無窮遠相交），只剩下直與關聯。群的大小每往上一階，你被允許量的東西就往下一階。結果就是幾何階層：射影在頂，接著仿射，接著相似，接著歐氏在底——歐氏是最嚴格的幾何，因為它的群最小。
GROUP (gets bigger going down) INVARIANTS IT PRESERVES Euclidean (rigid motions) distance, angle, parallel, straight Similarity (+ scaling) ratio, angle, parallel, straight Affine (+ shear, stretch) - - parallel, straight Projective (+ projection) - - - straight bigger group ==> fewer invariants ==> looser geometry
橫向一步：保角幾何
那座乾淨的四層塔——射影、仿射、相似、歐氏——是這一階的脊梁，但愛爾蘭根的想法也向橫裡伸，不只一路向下。考慮一個由一個出人意料的額外動作所造的群：對圓的反演，它把圓的內部翻到外、外部翻到內，而圓本身不動。把反演與普通的剛體與相似運動丟在一起，你就生成了莫比烏斯變換群，這是保角幾何的核心。它的運動能把一條直線彎成一段圓弧，所以「直」在這裡不再神聖。
取而代之被奉為神聖的，是角。每一個莫比烏斯變換，不論它把形狀扭得多劇烈、把線換成圓，都保持任意兩條曲線相交時的夾角——這正是「保角」的意思，保持角度。所以這門幾何保留了一個不變量（角）——那是仿射與射影幾何早已丟掉的；卻又放掉了一個（直）——那是它們所保留的。它並不工整地排在那道單一階梯的上方或下方；它坐在旁邊，以同樣的愛爾蘭根方式被定義——說出它的群，讀出它的不變量。
退一步，看看你得到了什麼。一門幾何如今是個你能指定的東西：交出一個作用於空間的群，軌道（哪些圖形算「相同」）、穩定子（每個點帶有多少對稱）、不變量（合法的定理）便一一湧出。下一篇刻意地沿主階梯向下走——從射影到歐氏——在每一階仔細審視究竟贏得了什麼、又失去了什麼；第四篇則安頓在仿射幾何裡，把其中一層看個透徹。你在此勾勒的不變量階梯，就是這一階其餘部分的地圖。