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直線方程式：你需要的每一種形式

直線是平面上最簡單的曲線，卻有許多偽裝：斜截式、點斜式、兩點式，還有不偏不倚的一般式。本篇說明為何它們都是同一條線、何時該選用哪一個，以及斜率如何悄悄主宰平行與垂直。

一條線「有方程式」是什麼意思

在上一篇裡，你學會了從兩點直接讀出斜率：垂直變化除以水平變化，也就是線往上爬的速率。現在我們問一個更深的問題——能不能用一句代數的話，捕捉整條線、它無窮多個點裡的每一個？在笛卡兒平面上答案是肯定的，那句話就是這條線的方程式。一個點 (x, y) 落在線上，恰好當它的座標使方程式成立；線外的每個點都使它不成立。方程式是一場完美的成員檢驗。

這裡有一個讓直線與眾不同的關鍵事實，值得直白說出：一條線正是「兩個座標相對彼此以固定速率變化」的那些點所成的集合。在線上隨便取兩點，你算出的斜率永遠是同一個數——這份恆定正是座標裡「直」的意思。像圓這樣的曲線通不過這項檢驗（它的斜率一直在變），這也正是下一篇要談的圓方程式長得不一樣的原因。所以無論哪種形式，每條直線方程式其實都只是在寫「(x, y) 與某個已知點之間的斜率是固定的」這件事。

斜截式與點斜式：兩個日常形式

多數人最先遇到的形式是斜截式，y = m*x + b。把它讀成一份配方：m 是斜率，b 是線穿過鉛直軸處的 y 座標——它的 y 截距，也就是點 (0, b)。要畫這條線你不需要別的：從 (0, b) 出發，每往右一步就往上 m。一條 y = 2*x - 1 的線從 (0, -1) 出發，每往右 1 就上升 2。當你已經知道一條線在軸上的切點與它傾斜的陡度時，這個形式無可匹敵。

但你往往不知道 y 截距——你知道的是線經過的某一點與它的斜率。這時點斜式就是自然的工具：y - y_1 = m*(x - x_1)，其中 (x_1, y_1) 是你的已知點。這幾乎是把斜率的想法逐字寫出：移項後它說 (y - y_1)/(x - x_1) = m，也就是「從 (x_1, y_1) 到線上任意點 (x, y) 的斜率是 m」。除非你想要，否則不必把它化簡成斜截式；照原樣寫出來，它已經是一條完整而正確的直線方程式了。

  1. 求過 (2, 1)、斜率為 3 的線。從點斜式起步：y - 1 = 3*(x - 2)。
  2. 把斜率乘開：y - 1 = 3*x - 6。
  3. 解出 y 得斜截式：y = 3*x - 5，因此 y 截距是 (0, -5)。
  4. 驗算：當 x = 2 時，y = 3*2 - 5 = 1，正是我們出發的那個點——方程式通過了自己的檢驗。

兩點式，與不藏私的一般式

如果給你的是兩個點而沒有斜率呢？你從上一篇已經知道該怎麼做：先算斜率 m = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)，再代進點斜式。把這兩步綁在一起就是兩點式，y - y_1 = ((y_2 - y_1)/(x_2 - x_1))*(x - x_1)。它不是新想法，只是把前兩個縫成一招——先找出兩點間的變化率，再把線錨定在其中一點上。

這些形式都共有一個缺陷：它們無法描述鉛直線。鉛直線沒有斜率（水平變化為零，所以垂直除以水平就是除以零），而 y = m*x + b 根本找不到能用的 m。解藥是一般式 A*x + B*y + C = 0，其中 A、B、C 是常數。這個形式不偏不倚——它對稱地對待 x 與 y，且從不除以任何東西。鉛直線只不過是 B = 0（例如 x = 4 就是 1*x + 0*y - 4 = 0）；水平線是 A = 0。平面上的每一條線無一例外都有一般式方程式，這也是為何在做證明以及用點到直線的距離公式時，它是首選的形式。

form              equation                          best when you know
slope-intercept   y = m*x + b                       slope m and y-intercept b
point-slope       y - y_1 = m*(x - x_1)             slope m and one point
two-point         y - y_1 = (dy/dx)*(x - x_1)        two points (compute slope first)
general           A*x + B*y + C = 0                 anything, incl. vertical lines
直線方程式的四種形式——同一條線，不同的起始資訊。

斜率決定平行與垂直

一旦一條線被它的斜率捕捉，幾何學中最基本的兩種關係就化為純粹的算術。兩條非鉛直線平行，恰好當它們斜率相等：傾斜相同，永不相交。它們垂直，恰好當它們的斜率相乘為 -1，也就是各自是對方的負倒數——若一條線斜率為 m，與它成直角的線斜率為 -1/m。這些就是平行與垂直斜率的法則，它把「這些線成直角嗎？」變成一行乘法。

一個快速的例子顯出它的威力。線 y = 2*x + 1 的斜率是 2。與它平行且過 (0, 5) 的線保持斜率 2，所以是 y = 2*x + 5。與它垂直的線斜率為 -1/2；過原點便是 y = -(1/2)*x。注意僅憑斜率就解決了兩個問題——我們從不需要量角器或圖，只要兩個斜率與一條法則。這正是座標讓幾何可計算的核心所在。

讓直線上工：交點與證明

兩條不平行的線恰好相交於一點，而方程式讓你不必畫任何圖就能找到它。因為交點同時落在兩條線上，它的座標一次滿足兩條方程式——所以你把這個兩線聯立一起解。取 y = 2*x - 1 與 y = -x + 5。令它們相等：2*x - 1 = -x + 5，得 3*x = 6，所以 x = 2；再算 y = 2*2 - 1 = 3。兩線交於 (2, 3)，而你也能確認它同樣滿足第二條方程式：-2 + 5 = 3。相對地，平行線在你嘗試這麼做時會給出矛盾——無解——這是代數誠實地告訴你它們永不相交。

直線方程式也是你將在本段末尾遇到的座標證明的主力。想證明正方形的兩條對角線互相垂直？把正方形擺在方便的座標上，寫出兩條對角線的方程式，再驗證它們的斜率相乘為 -1——一個綜合幾何的定理就化成一道短短的計算。想證明三點共線？確認第一點到第二點的斜率等於第二點到第三點的斜率；通過共用點的相等斜率，意味著它們是同一條線。