笛卡兒平面：幾何與代數的相遇

一個簡單到等了兩千年的念頭

在這一階以下的階梯上，你是用歐幾里得的方式做幾何：用點、線與形狀直接論證。你證過三角形全等，繞著圓追逐角度，又一次次倚靠畢氏定理。每個結果都來自一幅圖，以及一段針對那幅圖的仔細論證。這套方法漂亮極了——但每來一個新圖形，往往就得想出一個全新的巧思，沒有一台你能搖動的機器。

在一六三○年代，笛卡兒（René Descartes，以及各自獨立的費馬 Pierre de Fermat）有了一個悄然炸裂的想法：要是平面上的每個點都帶著一個由數字構成的地址呢？那麼一個幾何形狀就會變成一組數對，數字之間的某種關係就會變成一條曲線，而學校代數的整套工具——解方程、代入、化簡——就能全部放手用在幾何上。這就是笛卡兒平面；踏上它的那一刻，幾何與代數便不再是兩門學科，而成了同一件事的兩種看法。

兩條數線，每個點都有了地址

從你早已熟悉的數線開始——一條標好數字的數線，零在正中，正數朝右。現在再把第二條數線橫過它、以直角相交，恰好交在零點。把水平的那條叫做 x 軸，垂直的那條叫做 y 軸；它們的交點是原點 O。兩條互相垂直、共用一個零的數線：這就是整個舞台。

要釘住任何一點 P，問兩個問題：橫向（左／右）走多遠？縱向（上／下）走多遠？「橫向」的答案是它的 x 座標，「縱向」的答案是它的 y 座標，我們把兩者依固定次序綁成一個有序對 (x, y)。次序是神聖的：(3, 5) 表示橫走三、縱走五，而 (5, 3) 表示橫走五、縱走三——是個實實在在不同的點。那一小對括號就是地址，而且唯一：每個點恰有一個有序對，每個有序對也恰指一個點。

                y
                ^
            4 - |        . P(3, 4)
            3 - |
            2 - |
            1 - |
   --+----+----+----+----+----+--> x
     -2   -1   O    1    2    3
           -1 -|
           -2 -|

四個象限與標示它們的正負號

兩條軸把平面切成四塊區域，稱為象限，從右上方起、按逆時針編號。第一象限裡兩個座標都為正，記作 (+, +)；逆時針轉進第二象限，x 變負，(-, +)；第三象限是 (-, -)；第四象限是 (+, -)。所以一個座標的正負號早已告訴你該往哪走，瞄一眼像 (-2, -5) 這樣的數對，不必動筆就知道它在「左下」。

恰好落在軸上的點，是誠實的邊界情形，值得有自己的名字。x 軸上的點 y = 0，所以長得像 (a, 0)；y 軸上的點 x = 0，所以長得像 (0, b)。這些正是任何穿過坐標軸的曲線的截距——與 x 軸相交處的 x 截距，與 y 軸相交處的 y 截距——而把某個座標設為零來求它們，是整個座標幾何裡最常用的招式之一。原點本身是 (0, 0)，不專屬於任一軸，卻同坐在兩軸之上。

改變了什麼：形狀變成方程式

以下這個回報，讓這座橋值得一過。一旦點成了數對，一條曲線就成了那些數字必須滿足的一個條件。要求每個點到原點的距離都相同，比方說都是 5，你就得到一個圓；透過距離公式翻譯，這個條件就成了方程式 x^2 + y^2 = 25。改為要求那些點以固定速率上升，你就得到一條像 y = 2x + 1 的直線。一個幾何形狀與一個代數方程式，如今是同一個物件，只是從兩側觀看。

把這件事讀成兩個方向，你就握住了整個這一階的核心。由幾何到代數：一個形狀，由它的點所共有的性質來描述，化為一個你能拿來計算的方程式。由代數到幾何：一個方程式，比如 y = 2x + 1，化為一條軌跡——所有座標滿足它的點所成的集合——而這條軌跡有確定的、你畫得出來的形狀。接下來談斜率與直線方程式的兩篇導引，會把這件事對直線講清楚；談圓方程式的那篇，則對圓講清楚。

為何這是一項超能力：座標證明

這座橋能做的不只是畫曲線——它讓你能靠計算來證明定理。座標證明的訣竅，是拿一個綜合幾何的命題，把圖形巧妙地擺到坐標軸上，再讓代數去做論證。聰明的擺法是關鍵：把一個頂點停在原點，讓一條邊沿著 x 軸跑，這樣它的座標就填滿了零，數字也保持得小。你必須尊重、也必須誠實面對的陷阱是：擺法不能預設了你正要證明的事。你可以自由選擇圖形擺在哪、有多大，卻不能偷偷把它弄成一個特例。

1. 把圖形擺到坐標軸上，讓座標變簡單——一個頂點放在原點 (0, 0)，一條邊沿著 x 軸——但保持它完全一般（未知長度用 a、b 之類的字母，絕不用會逼出特殊形狀的固定數字）。
2. 用那些字母，寫下每個相關點的座標。
3. 把要證的主張翻成代數——距離用距離公式，方向用斜率，交會點則靠把方程式聯立來解。
4. 計算並化簡；若代數對一般的字母都成立，那麼定理對每一個這樣的圖形都成立，而不只是某一張圖。

這一階的第五篇導引——談軌跡、交點與座標證明——正是這套方法大顯身手之處；在那裡，你會只用算術，就重新證出像中點、中垂線這樣的老朋友。眼下，先握住這幅大圖：你已學會替每個點安上一個地址，而單憑這一個動作，距離、斜率、直線、圓，乃至證明本身，都即將以代數的形式落入你的手中。