三件看來和其餘一樣容易的任務
到了現在，你已經能二等分一個角、複製一個角、作出一條垂線、內接一個六邊形——一整間作圖的工坊，每一項都已被證明精確。所以古希臘人再提出的這三個要求，聽起來不過是又一個下午的工作罷了。三等分角：給定任意角，作出把它切成三等份的那兩條射線。倍立方：給定一個立方體，作出體積恰為其兩倍的第二個立方體的稜長。化圓為方：給定一個圓，作出面積與它恰好相等的正方形。每一件都用一句短話就說完，而二等分——把一個角切成兩等份——你早已輕鬆做到。
然而這三件事抵擋了每一位幾何學家兩千多年。阿基米德、波斯與伊斯蘭世界的數學家、文藝復興的大師們——全都試過，全都失敗，許多人造出了優美的近似答案，或借助額外工具的解法。沒有人辦到的，是在本階嚴格規則下的精確作圖：無刻度直尺、圓規、有限步驟。這件事之所以要緊，其誠實的理由在於：「我們找不到一個」與「不可能存在一個」是截然不同的兩種陳述——而直到十九世紀，那第二個遠為強烈的主張才被證明。
決定這三者的那一個想法
一切都繫於你在第四篇遇見的那座橋。從座標格線上的一個單位線段出發；當某個有限作圖能產生出某個長度時，這個長度恰好就是一個可作圖數。那兩種動作給了你加、減、乘、除——還有一份額外的禮物，平方根。這就是全部的工具箱：從有理數出發，你在每一步都可以添入一個你已擁有的數的平方根。凡是你能造出的，都是一個可由有限層平方根之塔所觸及的數——而關鍵在於，除此之外別無他物。
底下那具隱藏的引擎，是一個單一的代數事實：每當你讓兩條線相交，你只解一個一次方程；而每當一條線遇上一個圓、或一個圓遇上一個圓，你最糟也只解到一個二次方程。一個二次方程至多引入一個平方根，再無更深之物。所以無論你的作圖多長多巧妙，你永遠逃不出平方根的世界。這正是撬開每一個不可能問題的槓桿——它也是完整證明何以恰恰落在本階之外的誠實理由：要把「有限層平方根之塔」化為一個精確而滴水不漏的判準，需要十九世紀的體論（field theory，體擴張的次數，旺策爾、高斯與林德曼的工作）。
Each construction step solves at worst a quadratic: line meets line -> linear equation (no new roots) line meets circle -> quadratic equation (one square root) circle meets circle -> quadratic equation (one square root) So every constructible length lives in a TOWER of square roots: Q -> Q(sqrt a) -> Q(sqrt a, sqrt b) -> ... (finitely many) The 'degree' of such a number over Q is a power of 2: 1, 2, 4, 8, ... A number whose degree is NOT a power of 2 == not constructible.
倍立方與三等分角：立方根之牆
先談倍立方，因為它最為乾淨。設給定的立方體稜長為 1，於是體積為 1；新的立方體需要體積 2，所以它的稜長 x 必須滿足 x^3 = 2。那條稜長就是 2 的立方根——寫作 2^(1/3)。現在問題純粹是算術的：2^(1/3) 能否由有限層平方根之塔所觸及？不能。2 的立方根滿足一個無法拆解為若干二次式的三次方程；用上面的語言來說，它在有理數上的「次數」是 3，而 3 不是 2 的乘冪。一個作圖永遠只能落在次數為 1、2、4、8 等等的數上。次數 3 被禁止了，所以那條稜長造不出來，立方體也就無法加倍。
三等分角把同一道立方根之牆藏在三角函數的偽裝之後。誠實的主張不是說沒有任何角能被三等分——一個直角輕易就分成三個 30 度，因為你可以直接作出 30 度。這個主張是說：沒有一種方法能對每一個角都奏效。乾淨的見證是 60 度。三等分它意味著作出 20 度，也就意味著作出 cos(20 度)。把 60 度代入恆等式 cos(3 theta) = 4 cos^3 theta - 3 cos theta：以 cos(60 度) = 1/2 代入，你得到 8 x^3 - 6 x - 1 = 0，其中 x = cos(20 度)。這個三次方程沒有有理根，也拒絕經由二次式分解——又是次數 3。所以 cos(20 度) 不可作圖，於是 60 度的角無法用這些工具三等分。
化圓為方：一道不同而更深的牆
第三個問題失敗的理由相關卻確實更深。給圓半徑 1，於是它的面積為 pi。一個等面積的正方形需要邊長 s，使 s^2 = pi，亦即 s = sqrt(pi)。由於可作圖數對開平方封閉，sqrt(pi) 可作圖，恰好等價於 pi 本身可作圖。於是整個問題塌縮為一個著名的數：pi 是不是一個可作圖數？
在這裡立方根的故事不夠用了，因為阻礙更大。每一個可作圖數都是某個整係數多項式的根——這樣的數稱為代數數。但在 1882 年，林德曼（Ferdinand von Lindemann）證明了 pi 是超越數：它根本不是任何整係數多項式的根。一個超越數無法棲身於任何由平方根、立方根、或任何種類的根所構成的塔中，因為它逃離了每一個多項式方程。所以 pi 連代數數都不是，遑論可作圖，於是圓永遠無法用直尺與圓規化為方。這是三者之中唯一一個其證明完全伸出了次數論證之外的問題。
這場勝利究竟意味著什麼
停下來想想這有多麼奇異而美妙。一個關於墨水、紙張與兩件木製工具的問題，竟由代數來回答——靠著把每一件幾何任務翻譯成「我能搆到哪些數」，再證明某個目標數落在搆不到之處。畫圖板永遠無法了結這些問題，因為再多的畫圖也無法證明每一個可能的作圖都失敗。唯有一個關於數之結構的證明，才能排除掉那無窮多個你永遠不會去嘗試的作圖。這正是你將在整道階梯的頂峰再次遇見的同一種精神，在那裡深刻的定理把幾何與代數及分析繫在一起。
也要抵抗那種把不可能讀成挫敗的廉價解讀。確切知道一件工具能力的邊緣，本身就是一場勝利——這是迷信與理解之間的分野。任何遞給你一個摺紙三等分、或一把有刻度的尺所做的倍立方的人，並沒有推翻這些定理；他們改變了遊戲，而第一篇導引早已告訴你那永遠是被容許的。在圓規與直尺的規則之內，這判決是終局的、已被證明的、而且優美的：不是「我們放棄了」，而是「我們把規則理解得如此透徹，以致能證明它們在何處終止」。