從圖形到數
在這一階梯的前三篇裡，你學會了動手做——平分、複製、落下垂線、立起平行線、內接一個六邊形。每一步都只憑一支圓規與一把無刻度的直尺，把已知的點變成新的點。現在我們問一個不同種類的問題，正是這個問題把一門手藝變成一套理論：在世上所有的長度當中，一個完成的作圖究竟能交給你哪些長度？ 要回答它，我們得停止用圖形思考，開始用數思考。
訣竅小而有力：在你的圖底下鋪一條數線。標一個點叫它 0，再標第二個點，宣告它們之間的線段長度為 1——這是你的單位，是你免費被給予的那一個長度。從此以後，長度就是數，數就是長度。長度 3 的線段不過是三個單位首尾相接，而你早已會用 複製線段的作圖 把它做出來。「我能作出哪些數？」這個問題現在有牙齒了。
長度當然永遠不會是負的，但把一個數稱為可作數很方便——只要你能作出一條長度等於它絕對值的線段就算。所以當我們說 -2 或 1/3 可作時，意思是：可以從單位作出長度 2、或長度 1/3 的線段。正負號與方向只是記帳，靠你選擇把線段往數線哪個方向擺來決定。
尺規對數能做的五件事
這就是核心。從你的單位長度 1 出發，你早已擁有的那些作圖讓你恰好能對長度施行五種算術運算，別無其他：加、減、乘、除，以及開平方根。前兩種顯而易見——要把長度 a 與 b 相加，就把 b 複製接到 a 的尾端；要相減，就反方向複製回去。令人意外的是後三種，因為把兩個長度相乘、相除，或開平方根，聽起來像是非得有一把標了數字的尺不可。其實不必。它們需要的是相似三角形。
乘法與除法都搭乘同一個你在整整一階梯前就證過的想法：在 相似三角形 中，對應邊成比例。讓兩條線交於一點 O。在一條線上標出單位長度 1，再往外標出長度 a。在另一條線上標出長度 b。現在連出從單位的端點到 b 的端點的線段，並過 a 的端點作一條與它 平行的線。這條平行線與第二條線相交處，截下一段長度 x。因為這兩個三角形相似，1 : a = b : x，整理後得 x = a 乘以 b。你只用平行線就把兩個長度相乘了。
Multiply: 1 : a = b : x -> x = a*b
Divide: a : 1 = b : x -> x = b/a
Square root (geometric mean, altitude on a diameter):
laying 1 and a in a row, altitude h obeys
h^2 = 1 * a -> h = sqrt(a)除法是同一張圖把角色對調來跑，得出 x = b / a。開平方根最是漂亮。把長度 1 的單位線段與長度 a 的線段筆直排成一列，整段長 1 + a，以這整段為直徑畫圓。在 1 與 a 相接之處立起一條 垂線 直達圓周，記它的高為 h。依半圓上的直角三角形關係——正是你熟悉的那一族 畢氏 結果——這條高是兩段的幾何平均，所以 h^2 = 1 乘以 a，即 h = sqrt(a)。一個平方根，由一個半圓加一條垂線造成。
把可作數叫出名字
現在把你所能觸及的一切收集起來。從 1 開始。把它一再相加可達到每個整數；用除法可達到每個分數 p/q。所以每個有理數都是可作的——那是你免費站立其上的地板。接著這五種運算讓你往上爬：從有理數開平方根，落到某個新東西上，像 sqrt(2) 或 sqrt(5)，再把它們與有理數、彼此之間做加、乘、除，然後再開一次平方根。一個 可作數 恰恰就是任何你能從有理數出發、只用 +、-、*、/、sqrt（想嵌多深就嵌多深）寫出來的數。
像 sqrt(1 + sqrt(2 + sqrt(3))) 這樣的怪物是可作的：每一層都是五種合法動作之一，於是你從裡往外、一次一個相似三角形或一個半圓地把它蓋起來。這正是作圖之所以感覺近乎無窮的原因——這座嵌套根式的塔不必停下來。而那個深刻的事實——我們在此不證，因為誠實的證明屬於後面以座標與代數方法為主的階梯——是它的逆命題：這些平方根之塔就是你所能觸及的全部。尺規所造出的任何東西，都逃不出 +、-、*、/、sqrt 這一家族。
一個能一步步蓋出來的數
抽象很廉價；讓我們真的作出一個長度。取黃金比 phi = (1 + sqrt(5)) / 2，這個統治正五邊形的數。把它讀成五種運算的食譜：取 5、開平方根、加 1、除以 2。其中每一步都是你現在擁有的動作，所以 phi 必定可作——而事實上，正五邊形（它的對角線裡暗藏著 phi）正是古典可作圖形之一。看著食譜化為一張圖，正是這整篇的重點。
- 鋪好單位。在一條線上標出 0 與 1，這就定下了你稱為 1 的長度。
- 用 複製線段 把單位線段首尾相接五次造出長度 5（或先做出 2 與 1 再合併——任何有理數都是免費的）。
- 開平方根：把 1 接在 5 旁邊，以合起來長 6 的直徑畫半圓，並在接點處立起垂線。它的高就是 sqrt(5)。
- 加 1：把單位複製接到 sqrt(5) 線段的尾端，得到 1 + sqrt(5)。
- 把那條線段平分一次就除以 2——也就是 n = 2 的 等分 作圖。你讀出的那一半長度，正好就是 phi。
請注意，這五個步驟裡沒有任何一步用到工具上印的數字。每一個長度都來自複製、半圓、或平分——純粹的尺與規。這正是一個數「可作」的意思：不是說你能把它算出來，而是說你能用這兩件古老的器具，精確地擺出一條長度恰好等於它的線段。符號裡的食譜與紙上的圖，是同一個物件的兩個面。
這悄悄排除了什麼
一套精確說出你能蓋什麼的理論，也用它的沉默說出了你不能蓋什麼。如果每個可作數都住在一座平方根之塔裡，那麼任何可被證明需要立方根——或更糟，根本不是任何根式——的長度，用這些工具便永遠搆不到。這正是下一篇旋轉所憑的樞紐。把立方體加倍要求邊長放大為 2 的立方根，一個任何平方根之塔都比不上的真立方根；這就是為什麼 倍立方 用尺規是不可能的。
化圓為方被排除得更加斬釘截鐵。一個與單位圓同面積的正方形需要長度 sqrt(pi) 的邊，所以你得先作出 pi 本身。但 pi 是超越數——它根本不滿足任何整數係數的多項式方程，更別說什麼平方根之塔了——所以它完全落在可作數家族之外。這就是 化圓為方 辦不到的深層原因。pi 是超越數的證明是真正的機器，遠超出這一階梯，我們會誠實面對這點，而不是揮揮手帶過。