圓內接正多邊形與高斯的正十七邊形

「內接」到底在問什麼

把一個正多邊形內接於圓，意思是讓它所有頂點都落在圓上、彼此等距分布，使每一邊、每一角都相等。讀完第二篇後，你已經會複製一個角、平分一個角與作垂線——而你能用的就只有這些招式。所以真正的問題不是「我能不能畫一個五邊形？」，而是「我能不能單憑尺規，在圓上標出 n 個點，把圓分成 n 段相等的弧？」

你放下的每個頂點都用掉一個恰為 360/n 度的圓心角：正六邊形要 60 度的切片，正五邊形要 72 度，正十七邊形要 360/17（約 21.18）度的切片。因此，內接一個正 n 邊形，就等同於在圓心作出 360/n 這個角。這個簡單的重新表述，正是整篇文章的關鍵。

簡單的：6、4、3 與倍增

正六邊形是圓送給我們的禮物：半徑沿著圓周恰好走六步，因為一條等於半徑的弦所對的弧正是 60 度。不用量，不用猜——把圓規張開到半徑，走六步即可。從六邊形的六個點中每隔一個取一個，就免費得到一個正三角形。

正方形同樣親切：畫任一直徑，用一條過圓心的垂線把這個平角平分，兩條直徑就在圓上交出四個等距的點。而下面這件事是半張表格背後的引擎——一旦你有了正 n 邊形，把每段圓心弧平分，就能免費把點數加倍。於是 3 生出 6、12、24……；4 生出 8、16、32……；5 生出 10、20、40……

n      : 3   4   5   6   8   10   12   15   16   17
slice  : 120 90  72  60  45  36   30   24   22.5 21.18...
status : OK  OK  OK  OK  OK  OK   OK   OK   OK   OK

7, 9, 11, 13, 14, 18, 19 : NOT constructible

組合與五邊形

還有兩招補上空缺。第一招就是剛才看到的倍增（平分）。第二招是組合互質的多邊形：若你能作出正 m 邊形與正 n 邊形，且 m、n 沒有公因數，你就能作出正 (m*n) 邊形。從角度看理由很清楚——有了 360/3 = 120 度的弧與 360/5 = 72 度的弧，差 120 - 72 = 48 度恰好等於兩片 360/15 = 24 度，於是你就能走出一個正十五邊形。

但五邊形本身是第一個真正令人意外的情形——它 72 度的切片可不是半徑白送的。它藏在黃金比例裡。五邊形的半對角線與其邊長透過 phi = (1 + sqrt(5))/2 這個數相關，而由於這只牽涉一個平方根，它便是一個可作圖數。古典作法用畢氏定理造出 sqrt(5)/2 的長度（直角邊為 1 與 1/2 的直角三角形，斜邊就是 sqrt(5)/2），再把它組裝成你需要的那條弦。

1. 畫一個圓心為 O 的圓，往右取一條水平半徑到點 A；再標出最上方的點 B。
2. 平分線段 OA 得其中點 M（於是 |OM| = 半徑的一半）。
3. 畫線段 MB，其長為半徑的 sqrt(5)/2——直角三角形 OMB 的兩股為 1 與 1/2。
4. 以 M 為圓心、過 B 畫弧，往下交半徑 OA 於點 N；此時 |AN| 恰為內接正五邊形的邊長。
5. 把圓規張開為 |AN|，從 B 開始沿圓走五步。

高斯、17 與費馬質數

兩千年來，可作圖正多邊形的名單似乎卡在 3、4、5、15 及其倍增上。希臘人費盡心力想作正七邊形與正九邊形，卻始終徒勞——之後會看到這是有道理的。直到 1796 年，十九歲的高斯（Carl Friedrich Gauss）證明了正十七邊形可以尺規作出，他為此極為自豪，還要求把它刻在自己的墓碑上。他並沒有真去畫它，而是用「把那條弦化約成一座平方根之塔」的方式加以證明。

高斯發現的驚人事實是一條精確公式。正十七邊形那一片切片的餘弦，可以只用整數、除法與層層嵌套的平方根寫出——而平方根正是圓規所執行的運算。具體而言，16 cos(2 pi / 17) 等於下面的式子。由於其中每個符號都是由 sqrt 造出的可作圖數，這個角、進而這個多邊形，便都可作圖。

16 cos(2 pi / 17) =
  -1 + sqrt(17)
     + sqrt(34 - 2 sqrt(17))
     + 2 sqrt( 17 + 3 sqrt(17)
               - sqrt(34 - 2 sqrt(17))
               - 2 sqrt(34 + 2 sqrt(17)) )

高斯做的遠不只一個例子。他證明：正 n 邊形可作圖，恰好當 n 是 2 的某次方乘上若干個相異的費馬質數之積——所謂費馬質數即形如 2^(2^k) + 1 的質數。目前已知的有 3、5、17、257、65537。這正解釋了為何 3、5、15（= 3 乘 5）、17 行得通，為何（原則上）正 257 與正 65537 邊形可作圖，以及為何 7、9（= 3 乘 3，重複的因數）、11、13 不行。要完整證明這些是「唯一」可作圖者，需用到伽羅瓦理論，已超出本級的範圍，但這條判準你現在就能用。

運用判準（與它誠實的邊界）

要檢驗任一 n，先把 2 的因數全部抽掉，再看剩下的部分是否為若干個「相異」費馬質數之積。取 n = 20 = 4 乘 5：奇數部分是 5，單獨一個費馬質數——可作圖。取 n = 9：奇數部分為 9 = 3 乘 3，同一個費馬質數出現兩次——不被允許，所以正九邊形不可作圖。取 n = 7：7 是質數但不是費馬質數，所以沒有正七邊形。這正是阻擋一般角三等分的同一道牆，而那也正是封殺正九邊形的障礙（40 度正是 120 度的三分之一）。

請留意整個故事的形狀：一個純粹幾何的問題——哪些多邊形能嵌入圓——竟然是由「數」來回答的，具體說，是由哪些長度住在一座平方根之塔裡來決定的。這座從作圖通往算術的橋樑，正是下一篇的核心，你將在那裡正面遇見可作圖數，並看清為何圓規所能給你的，永遠只是一個平方根。