平分、複製，與作垂線

我們被允許做什麼，重述一遍

上一篇已定下這場遊戲的規則，我們不再重新爭論，只把它們派上用場。直尺畫出通過你已擁有的兩點的直線；它沒有刻度，所以永遠不能測量。圓規張開到兩點之間的距離，畫出與選定圓心等距的所有點所成的圓。這就是全部的工具。本段的每一個作圖，都只是這兩個動作的一串接續，而所得到的線與圓相交之處，就成了你新的材料。

第一篇有一個微妙處值得記在眼前。古典的圓規是可塌縮圓規：把它從紙上抬起，它就闔上，所以你不能拿它當分規，把一個固定長度搬過紙面。這看似是個要命的限制，第一篇卻證明了可塌縮圓規能做到剛性圓規所能做的一切。這正是為何我們下面第一個真正的任務，就是複製線段——一旦能誠實地搬運長度，塌縮與否就無關緊要了。

複製線段，複製角

從最基本的搬運開始。給你一條線段 AB，以及一條線上的新點 C，你想在那條線上找一點 D，使 |CD| 等於 |AB|——這就是複製線段。把圓規張開到從 A 到 B 的跨距，針腳扎在 C，掃出一段弧切過那條線；交點就是 D。為什麼 |CD| 等於 |AB|？因為單一次圓規張開，依定義就是一個固定的半徑——A 到 B 與 C 到 D 是同樣大小的圓的半徑，所以相等。用剛性圓規，故事到此為止；用可塌縮圓規，你先用第一篇的訣竅造出這個長度，再如此複製。

複製角是同樣的精神，再豐富一步。要在給定射線上的新頂點 P 重現角 BAC，先以 A 為圓心畫一段弧；它與角的兩邊交於兩點，設為 X 與 Y。不改變張開的大小，以 P 為圓心畫出同半徑的弧，交你的新射線於 X'。現在把圓規張到弦 |XY|——第一段弧打在兩邊上之處的直線間距——再從 X' 掃出這個長度標出 Y'。從 P 過 Y' 的射線就完成了複製。這就是複製角，是讓你把一個已知角移植到紙上任何地方的動作。

它成立的理由又是純粹的 SSS。看三角形 AXY 與三角形 PX'Y'。兩條短邊相等，因為兩段弧都用同一張開（|AX| = |PX'| 且 |AY| = |PY'|），第三邊相等，因為我們刻意複製了那條弦（|XY| = |X'Y'|）。三組相等的邊，所以兩三角形全等，所以它們在 A 與在 P 的角相符——意即 m(angle BAC) 等於你剛在 P 造出的角。沒有測量，沒有量角器，角卻被準確地重現了。

平分線段——以及垂直平分線

現在來對半分。要執行平分線段 AB，把圓規張開到比 |AB| 的一半更大，針腳扎在 A，在線段上下各畫一整段弧，再用同樣的張開從 B 做一遍。兩組弧交於兩點；稱為 P 與 Q。過 P、Q 的直線交 AB 於它精確的中點 M，附帶地還以直角相交——所以直線 PQ 是 AB 的垂直平分線，這唯一一個作圖既把線段對半分，又與它正交。

P 與 Q 為何落在它們所落之處，是本段最可愛的想法。我們從 A 與從 B 都選了同一張開，所以 P 與 Q 各自到 A 與到 B 都一樣遠：|PA| = |PB| 且 |QA| = |QB|。垂直平分線恰好是所有到 A 與到 B 等距的點所成的集合，所以任何具備這個等距性質的點都必落在其上——這就迫使 P 與 Q 兩點都在線上，而這條線筆直地以直角穿過中點。我們不是在驗證一張圖，而是在使用垂直平分線的定義性質。

construction          you supply        you produce                key fact used
copy a segment        AB, point C       D with |CD| = |AB|         one radius, one length
copy an angle         angle BAC, ray     same angle at P            SSS on the two arc-triangles
bisect a segment      AB                midpoint M + perp bisector  equidistant points lie on it
bisect an angle       angle BAC         ray splitting it in two     SSS on a mirrored pair
erect a perpendicular line, point on/off  the right-angle line        symmetry across the foot

五個核心作圖、各自需要什麼，以及每一個成立的那一個誠實理由。

平分一個角

對半分一個角，用的是同一個等距直覺，只是轉了個方向。要平分角 BAC，把圓規針腳扎在頂點 A，畫一段弧交兩邊於點 X 與 Y。然後，以任何方便的張開，畫兩段等半徑的弧——一段以 X 為圓心，一段以 Y 為圓心——讓它們在角內交於一點 Z。從 A 過 Z 的射線把角 BAC 分成相等的兩半。一個作圖，角就被完美地切成兩份。

證明又是一次 SSS。比較三角形 AXZ 與三角形 AYZ。邊 AX 等於邊 AY（都由第一段以頂點為圓心的弧畫出）；邊 XZ 等於邊 YZ（都由第二段等半徑的弧畫出）；而邊 AZ 為兩三角形所共用。三組相等的邊，所以兩三角形全等，所以第一個在 A 的角等於第二個在 A 的角——這恰好是說射線 AZ 把角 BAC 分成兩個相等的角。注意整張圖如何對直線 AZ 對稱；這個作圖不過是把那面鏡子內建進去而已。

作垂線：垂下與立起

垂線是與另一條線以直角相交的線，日常有兩個版本。立起垂線是指從一個落在線上的點 P 出發，過 P 立一條與它成直角的線。垂下垂線是指從線外一點 P 出發，找出過 P 且與線正交的那條線——從該點到該線最短的路徑，打在垂線的垂足上。兩者是同一個想法，作垂線，戴著兩頂帽子而已。

以下是從一點 P 垂下垂線到一條線，逐步進行。秘訣在於我們從不需要新點子：我們在線上製造兩個到 P 等距的點，接著我們早已會做的垂直平分線就完成其餘的事。

把圓規扎在 P，張開到足以在兩處切過那條線；掃出弧標出這兩個交點 A 與 B。依作圖 |PA| = |PB|，所以 P 到 A 與到 B 等距。
現在如前一般平分線段 AB：從 A 與從 B 畫等弧，相交於線另一側（相對於 P）的一點 Q。
畫直線 PQ。既然 P 與 Q 都到 A 與 B 等距，兩點都落在 AB 的垂直平分線上——所以直線 PQ 就是那條垂直平分線。
因此 PQ 以直角交原來的線，交點 F 就是垂足。垂線作完了，且由垂直平分線的性質，m(angle PFA) = 90 度。

在已經位於線上的點 P 立起垂線更快，而且重用了完全相同的零件。在線上 P 的兩側各標一個與 P 等距的點 A 與 B，做法是從 P 掃出一段弧切線兩次；如今 |PA| = |PB|，所以 P 是 AB 的中點。接著用雙弧法做出過 P 的 AB 垂直平分線，你立起的那條線就與原線成完美的直角。一旦看穿，幾何裡的每一條垂線都是垂直平分線的化裝——這正是為何精通一個作圖，會悄悄地把三個交到你手上。

這五個為何重要，以及接下來是什麼

退一步，注意你真正用到的新點子有多少。複製靠的是單一半徑；複製角、平分角、整套垂線的事，全都化約為 SSS 全等與垂直平分線的一個定義性質——等距。這五個是作圖的字母。把圓內切於三角形、做出正六邊形、把線段分成等份、前方的正十七邊形：它們每一個，都是用平分、複製與作垂線拼寫出來的。

關於精確度的一句老實話。作圖在原理上是精確的：上面的證明不用任何近似，所以中點真的是中點，直角真的是 90 度。近似的是你的手——滑掉的針腳或粗胖的鉛筆線，會把理想的點抹糊。幾何把這兩者乾淨地分開：定理講的是完美的圖形，而塗汙是關於鉛筆的事實，不是關於數學的。正是這個區分，讓之後的不可能性結果能滴水不漏。

本段接下來，我們讓這套字母在形狀上工作。第三篇把正多邊形內接——簡單的六邊形，接著是高斯正十七邊形那令人驚異的情形——並追問究竟哪些正多邊形根本可以作圖。從那裡本段轉為哲思卻嚴謹：第四篇精確地釘住尺規所能抵達的究竟是哪些長度，而第五篇用它證明三個古老問題——三等分角名列其中——在這些規則下確實不可能。一切都從你如今擁有的這五個動作出發。