一場恰好只有兩種動作的遊戲
你已經把歐幾里得公設當作證明可以倚靠的規則認識過了。其中前三條其實並非關於世界的陳述——它們是作圖的許可。「過任意兩點，你可以畫一條線。」「你可以把一條線延伸到你想要的長度。」「給定一個圓心與一個點，你可以畫出過那點的圓。」這樣讀來，這些公設悄悄遞給你兩件實體工具，並精確地告訴你每一件被授權做什麼。一個幾何作圖，就是你只用這些被授權的動作、在有限步驟內所能產生出來的任何圖形。
這兩件工具就是直尺與圓規，而最該吸收的一點，是每一件能做的事有多麼少。直尺是一把上面沒有任何刻度的尺：它能畫出過你已有的兩點的那條直線，僅此而已。它不能量長度、不能搬移長度、也不能「憑目測」畫出與另一條線平行的線。圓規能畫出以某點為圓心、通過第二點的圓（或弧）——這就是它的全部本領。兩件工具都無法獨自生出任何一個新點。新的點只出現在這些線與圓彼此相交之處。
這裡的「精確」究竟是什麼意思
當我們說某個作圖給出一個中點或一條垂線，我們指的不是「夠接近、看起來對」。我們指的是數學上精確——在那個線無粗細、點無大小的理想世界裡，完美無瑕。你紙上的鉛筆痕跡，一如既往，只是真正物件的善意替身。一個作圖之所以正確，是因為你能從公設與先前的定理出發，證明所產生的那個點，正是所宣稱的那一個。圖說服眼睛，證明說服心智，而唯有證明才算數。
這正是作圖該與證明並列於此、而不該歸入美術課的原因。本階的每一個作圖都由兩半構成：配方（直尺與圓規動作的序列）與論證（一段往往倚靠你早已熟知的三角形全等判別法的推理，說明這個配方確實做到它所宣稱的事）。你在下一篇導引會看到，要證明一個作圖把線段二等分，你會造出兩個三角形並證明它們全等——作圖與它的證明，其實是同一個想法的兩張臉。
會塌的圓規——以及它為何無關緊要
這裡有一個幾乎讓所有人都栽跟頭的微妙之處。歐幾里得真正授權的那把圓規，是一把會塌的圓規：你可以畫出以給定圓心、過給定點的圓，但你一把圓規抬離紙面，它就立刻闔上，並忘掉那個半徑。一把真正的金屬圓規會撐住它的開口，所以你能把它戳到某個新位置，在別處畫出相同半徑的圓。理想化的工具做不到——每個圓都必須釘在一個圓心與一個它確實通過的點上。於是看來公設禁止了最自然不過的那個動作：「把這個長度搬到那邊去」。
化解之道，正是歐幾里得關於作圖所證明的第一個命題，而它是一個小小的奇蹟。圓規等價定理表明：凡是一把能撐住長度的固定圓規所能做的事，會塌的圓規也都能做到——靠著繞經幾個額外圓的巧妙迂迴。實際上，把一個長度從一處複製到另一處，用這把較弱的工具確實辦得到；只是多花幾步而已。正因為有這條定理，我們此後才獲准自由使用方便的剛性圓規，並假裝那個會塌的問題從未存在。誠實要求我們明白：這是一條定理，而非白白送來的假設。
從動作到數
這裡有一座橋，使整個這一階不只是一門手藝。在平面上鋪一張座標格線，並像古典遊戲那樣，僅以兩個點起步：稱它們為 (0, 0) 與 (1, 0)，使其間的線段長為 1。現在問：你能從這裡只用那兩種動作造出哪些長度？若某個從單位線段出發的圓規與直尺作圖，恰好產生一條那個長度的線段，這個長度就稱為可作圖數。
令人驚訝的是這個集合有多麼豐富。把線段首尾相接給了你加法與減法；上面那個複製動作讓你搬運長度；運用相似三角形（它你同樣能作出）給了你乘法與除法。於是每一個分數都可作圖。還有一個動作免費溜了進來：從一個長度 L，你總能作出 L 的平方根。就是這一個事實——可作圖數對開平方封閉，卻不對開立方或任何更狂野的運算封閉——正是那些不可能問題日後將沿之裂開的斷層線。
Two moves on the page -> What they do to lengths
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lay segments end to end -> a + b and a - b
similar triangles -> a * b and a / b
semicircle + perpendicular -> sqrt(a)
Constructible from {0, 1}: +, -, *, /, and sqrt (any finite mix)
NOT reachable this way: cube roots, pi, ... (the impossible three)這份承諾與誠實的極限
僅憑這兩件工具，你就能做到驚人之多的事，而本階其餘的篇幅將一一走過：二等分一條線段或一個角、複製一個角、作出或豎起一條垂線、畫一條平行線、在三角形內切一個圓並在其外接一個圓，還有作出正多邊形——正三角形、正方形、正五邊形，以及高斯那令人驚嘆的正十七邊形。恰當的工具，謹慎地運用，所能觸及之處遠遠超過它們理應能及的範圍。
然而有三件事你做不到，無論你多麼聰明、嘗試多久：任意角三等分、倍立方（造出體積為給定立方體兩倍的立方體），以及化圓為方（造出與給定圓面積相等的正方形）。這些不是尚未解決——它們是已被證明不可能，而證明正是穿過上面那個關於數的想法：三等分與倍立方需要一個立方根，化圓為方需要 pi，而這些都無法由有限層的平方根所觸及。完整的論證需要超出本階的代數，所以當我們抵達時會對此誠實以告；目前，先握住答案的輪廓。