我們仍待搭起的橋
回頭看看這一階從何開始、又到了何處。第一篇用一個平面切圓錐，把切面稱為圓錐曲線——純粹是一幅空間的圖像。第二到第四篇則把圓錐完全丟開，在平坦的紙面上以焦點、準線與離心率定義同一批曲線：拋物線是與一個焦點和一條直線等距的點，橢圓與雙曲線則靠兩段焦距之和或之差。兩個截然不同的故事。我們斷言它們描述的是同樣的曲線，卻從未證明過。這個缺失的證明，正是本篇首先要補上的縫隙。
這裡有一個誠實的難處。在圓錐上，曲線活在傾斜的三維空間裡，而焦點全無蹤影——只是一個斜平面穿過一個圓錐。在紙面上，焦點是全場的主角，圓錐卻消失了。要搭起兩者之間的橋，我們必須在圓錐內部找出焦點——僅從圓錐與平面的純粹幾何，造出平面定義所要求的那個特殊點與那條特殊線。一八二二年，比利時數學家丹德林（Germinal Pierre Dandelin）正是用一個美得驚人的想法做到了：把球扔進圓錐裡。
把球放進圓錐
取一個圓錐，以及一個與它交於橢圓的截平面。現在想像在圓錐內部、截平面下方吹脹一顆球，直到它被緊緊楔住：它沿著一整圈水平圓與圓錐相切，並恰在單獨一點輕觸截平面。把那個點叫做 F_1。同樣地在截平面上方吹脹第二顆球，沿另一個圓與圓錐相切、在一點 F_2 觸及截平面。這兩顆便是丹德林球。這個斷言——你頭一次聽到時幾乎難以置信——是 F_1 與 F_2 恰恰就是這個橢圓的兩個焦點。
證明倚靠一個你在前面幾階遇過的樸素事實：從一個外點向一顆球所引的兩條切線段等長——這是從一點向圓所引切線在空間中的表親。在橢圓上任取一點 P。從圓錐頂點穿過 P 的直線沿著圓錐表面延伸，並同時刺穿兩個切圓，交於 T_1（下球切圓上）與 T_2（上球切圓上）。現在看奇蹟發生：線段 PF_1 與線段 PT_1 都是從 P 向下球所引的切線，故兩者相等。同理 PF_2 = PT_2。
P on the ellipse. F_1, F_2 = the two contact points (the foci).
T_1, T_2 = where line (apex -> P) meets the two tangent circles.
P F_1 = P T_1 (two tangents from P to the LOWER sphere)
P F_2 = P T_2 (two tangents from P to the UPPER sphere)
P F_1 + P F_2 = P T_1 + P T_2 = T_1 T_2
T_1 T_2 = distance along the cone between the two fixed
circles = the SAME constant for every P.
=> P F_1 + P F_2 = constant (the ellipse's defining property)把它們相加：PF_1 + PF_2 = PT_1 + PT_2 = T_1T_2，這是沿著圓錐從下切圓量到上切圓的距離。但 T_1 與 T_2 永遠落在那兩個固定的圓上，而圓錐上兩個平行圓之間的斜距，無論你沿哪一條母線而下都相同。所以 PF_1 + PF_2 等於一個與 P 無關的定值——這恰恰是第三篇橢圓的兩焦點定義。圓錐的切面就是焦點橢圓，是被證明的，而非被斷言的。同樣的構造，在雙圓錐的每一葉各放一顆球，便把定和變成定差，給出雙曲線。
準線又藏在何處
球也交出了準線，這是更深一層的回報。每顆丹德林球沿一個水平圓與圓錐相切，而那整個圓躺在一個平面上。把那個平面與截平面相交，你得到一條直線——那條線就是準線。再做一點三角，比較截平面的傾角與圓錐的半頂角，便可證明：對曲線上任一點 P，比值（P 到焦點的距離）/（P 到那條線的距離）是一個固定的數，對每個 P 都相同。那個比值就是離心率，而這正是第四篇的焦點-準線性質，直接從立體圖形中浮現出來。
每個二次式都是圓錐曲線：一般方程
現在來到第二條未了的線頭。這一階裡圓錐曲線都以整潔的「標準」方程登場——拋物線 y = x^2、橢圓 x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1——但那些都假設曲線乖乖地置中且與座標軸對齊。誠實的一般對象是一般二次方程：A x^2 + B x y + C y^2 + D x + E y + F = 0，這是 x 與 y 的最一般的二次多項式方程。值得注意的定理是：每一個這樣的方程，不論它的六個係數為何，其圖形都是一條圓錐曲線——也許傾斜、也許平移、也許退化，但永遠是這個家族的一員。
新角色是B x y 這個交叉項。兩個一次項 D x 與 E y 只把曲線滑來滑去——你用配方法就能消去它們，正是你找圓心時用的那一招。但 B x y 做的是其他項做不到的事：它把曲線從座標軸旋轉開來。一條你早已熟稔的雙曲線 x y = 1，不過就是標準雙曲線轉了 45 度；交叉項就是這個旋轉的代數寫法。要讀懂這樣一個方程，你必須先把那個旋轉解開。
解開它的方法是座標軸旋轉：把座標系轉一個巧妙選定的角 theta，使得在新的傾斜座標下，交叉項消失。選 theta 滿足消去 B 的條件（算出來是 cot(2 theta) = (A - C) / B），便在旋轉後的座標系中留下一個乾淨的標準方程，你一眼就能認出。所以完整的程序是：旋轉以除去 B x y，再用配方法平移以除去一次項，赤裸的標準圓錐曲線便顯露出來。
判別式一筆分門別類
你往往不必真的旋轉——只需要知道你手上是哪一類圓錐曲線。有一個由最高的三個係數構成的量，能立刻回答這點，而且當你旋轉座標軸時它從不改變：判別式 B^2 - 4AC。因為旋轉不會動到它（它是一個不變量），你可以直接從凌亂的傾斜方程讀出曲線的種類，無須把任何東西扶正。一個正負號，一個判決。
- 若 B^2 - 4AC < 0，曲線是橢圓（圓是 A = C、B = 0 的特例）。想想 x^2 + y^2 = 1：此處 B^2 - 4AC = -4 < 0。
- 若 B^2 - 4AC = 0，曲線是拋物線。想想 y = x^2，即 x^2 - y = 0：此處 A = 1、B = 0、C = 0，故 B^2 - 4AC = 0。
- 若 B^2 - 4AC > 0，曲線是雙曲線。想想 x y = 1，即 x y - 1 = 0：此處 A = 0、B = 1、C = 0，故 B^2 - 4AC = 1 > 0——一條偽裝的雙曲線，正如我們所言。
有一個誠實的但書，而且很要緊。判別式說出類型，但少數方程會塌縮成退化圓錐曲線——當截平面通過圓錐頂點、而非乾淨地橫切時，你所得到的殘餘。此時 x^2 - y^2 = 0 並非雙曲線，而是 y = x 與 y = -x 這一對直線；x^2 + y^2 = 0 是單獨一點；x^2 = 1 是兩條平行線；而 x^2 + 1 = 0 則什麼都不是（沒有實點）。判別式單憑自己看不出這些，所以在宣告一條真正的曲線之前，務必瞄一眼你的方程究竟是分解了、還是空掉了。
圓錐曲線這一階留給你的
三種定義，同一個家族。圓錐曲線以圓錐的切面登場，在平坦紙面上重生為焦點與準線的軌跡，再以單一個數——離心率——加以分類。丹德林球把空間的故事與平面的故事焊在一起，而帶著判別式的一般二次方程，又把兩者一同焊向代數：一條圓錐曲線是圓錐的平面切面，又是焦點軌跡，又是一個二次方程，而這些是同一批對象的三種看法。這個三重身分，正是這一階靜默的勝利。
而圓錐曲線的故事並未止於此——這裡正是它向外展開之處。你已遇過的反射性質，讓車頭燈與衛星碟把光束送向焦點，並讓行星沿著由單一焦點方程所主宰的軌道運行。透過你上方那些階梯的鏡頭來看，一條圓錐曲線成為一條射影曲線，在那裡橢圓、拋物線與雙曲線融為同一個形狀，僅由它們如何與無窮遠線相遇來區分——再往上，則是所有代數曲線中最簡單而有趣的那一條。你已在這個層次完整學會了這個家族；上方的階梯，則展示同樣的曲線披上更宏偉的名字。