三種形狀，一個懷疑
到現在，你已經分別地、各依其本性認識了這三條曲線。第二篇從一個焦點與一條準線造出 拋物線：每個點與一個固定點和一條固定直線等距。第三篇用距離的和與差，從兩個焦點造出 橢圓 與 雙曲線。這些定義看起來確實不一樣——一條線對兩個點、相等對某個固定的和——而你大可問：除了「都是圓錐的切片」這個巧合之外，這三條曲線之間究竟有沒有更深的共通之處。
有的，而且簡單得令人吃驚。拿拋物線的配方——量一個點到焦點的距離，以及它到準線的距離——但別再堅持兩者相等。改成只要求它們的 比值 是某個固定的數。把這個比值叫做 離心率，記作 e。令人驚奇的事實是：這單一條規則，除了 e 的值之外什麼都不改，就依序生出拋物線、橢圓和雙曲線。一套定義、一個數，三條圓錐曲線全包了。
焦點—準線規則，只陳述一次
把規則完整寫出來。固定一個點 F，叫 焦點；固定一條不通過它的直線 d，叫 準線。對任意點 P，設 |PF| 是它到焦點的距離，dist(P, d) 是它到準線的垂直距離。焦點—準線性質 說：P 落在這條圓錐曲線上，恰恰就在比值 |PF| / dist(P, d) 等於某個固定正常數 e 的時候。這個常數就是離心率，而曲線上每個點的這個比值都相同。
|PF| = e * dist(P, d)
e = 1 -> parabola
0 < e < 1 -> ellipse
e > 1 -> hyperbola
e = 0 -> circle (the limiting, degenerate case)把那張表慢慢讀，因為它就是整篇的重點。當 e = 1，到焦點的距離恰好等於到準線的距離——這正是第二篇拋物線的逐字翻版。把 e 壓到 1 以下，曲線就必須比起準線更緊地貼住焦點，收攏成橢圓那有界的卵形。把 e 推到 1 以上，曲線就被允許相對於準線遠遠地離開焦點，張開成雙曲線那兩條無界的分支。拋物線不是另一個物種；它正是介於「封閉」與「張開」之間、e = 1 的那條刀刃。
把每一種情形握在手裡感覺一下
讓我們用一張小小的演算草圖把三種情形具體化。把焦點放在 F = (1, 0)，準線放在鉛直線 x = 4，於是對點 P = (x, y) 而言 dist(P, d) 就只是 |x - 4|。規則 |PF| = e * dist(P, d) 因此讀作 sqrt((x - 1)^2 + y^2) = e * |x - 4|。看看當我們轉動旋鈕 e 時，x 軸上一個試驗點——曲線在焦點與準線之間穿過的那個點——會發生什麼事。
- 設 e = 1（拋物線）。在 x 軸上規則是 |x - 1| = |x - 4|，解出中點 x = 2.5——頂點正好坐落在焦點與準線的正中間，一如拋物線的頂點向來如此。
- 設 e = 0.5（橢圓）。現在 |x - 1| = 0.5 * |x - 4|。在焦點與準線之間這給出 x - 1 = 0.5(4 - x)，故 1.5x = 3，x = 2——更靠近焦點。曲線會在兩側都收攏起來，成為橢圓。
- 設 e = 2（雙曲線）。現在 |x - 1| = 2 * |x - 4|。在兩者之間這給出 x - 1 = 2(4 - x)，故 3x = 9，x = 3——更靠近準線。曲線無法收攏；它分成兩支飛向無窮遠，成為雙曲線。
注意當 e 從 0.5 增到 1 再增到 2，x 軸上那個頂點如何滑動——從 x = 2、到 2.5、到 3。e 在 1 以下時曲線保持更靠近焦點並折返自身；e 在 1 以上時它倒向準線並逃向無窮遠；e = 1 時它恰好在兩者之間取得平衡。連續的旋鈕 e 真的把一條曲線平滑地變形成下一條，而那個質的跳躍——封閉對張開——恰恰發生在 e 越過 1 的時候。
離心率有意義，不只是一個值
對你在第三篇遇過的橢圓與雙曲線，離心率還量度一件你看得見的事：曲線偏離完美圓形的程度。對半軸為 a（長的）與 b（短的）的橢圓，兩個焦點距中心 c，其中 c^2 = a^2 - b^2，而離心率是 e = c / a。當焦點擠在中心附近，c 接近 0，於是 e 接近 0，橢圓幾近圓形。當焦點朝兩端散開，c 趨近 a，e 趨近 1，橢圓就被拉成又長又瘦的雪茄。所以 e 小代表渾圓；e 接近 1 代表扁平。
雙曲線服從同一條公式 e = c / a，但現在 c^2 = a^2 + b^2（是加號，不是減號——回想第三篇那個符號的翻轉），這逼使 c > a，因而 e 永遠大於 1。而 e 透過 漸近線 掌控分支的張開：離心率只比 1 大一點點，給出狹窄、彎得很急的雙曲線；e 很大，則給出大張的分支，越來越平、趨近一條直線。在每一種情形裡，數 e 都不是任意貼上的標籤——它是曲線形狀的忠實讀數。
一條極座標方程式統治它們全部
焦點—準線觀點最深的報酬，是三條圓錐曲線共用一條方程式——只要你把原點放在焦點上，並使用極座標 (r, theta)。焦點在極點時，圓錐曲線的極座標方程式 是 r = (e * L) / (1 + e cos theta)，其中 L 是焦點到準線的距離，e 是離心率。除了 e 之外什麼都不改，這一條公式就描出橢圓、拋物線或雙曲線——正是整篇一路所要建立的統一，如今濃縮成一行代數。
三種情形你都能直接從分母 1 + e cos theta 讀出來。若 e < 1，分母永遠到不了 0，所以每個角度的 r 都有限，曲線封閉——橢圓。若 e = 1，分母在 theta = 180 度處變成 0，那裡 r 爆掉：那正是拋物線奔向無窮遠的那單一方向。若 e > 1，分母在兩個角度為 0，標出雙曲線兩條漸近線的方向，越過它們 r 變負，第二支分支於是現身。分母何時消失的這套算術，正是「張開對封閉」那個故事的又一次講述。
這就是為什麼「焦點在原點」的極座標形式，是物理裡軌道的天然語言：行星、彗星或太空船在重力下運動，走的是一條以太陽為其一焦點的圓錐曲線，而單一個數 e 就告訴你它是被束縛（橢圓）、勉強逃逸（拋物線），還是不受束縛（雙曲線）。本梯級下一篇也是最後一篇，回到圓錐本身，那裡優雅的 單貝林球 證明這些焦點—準線的圓錐曲線與 圓錐的平面切片 是同一個家族——並說明你一路描繪的 軌跡 如何從一般二次方程式裡掉出來。