橢圓與雙曲線：兩個焦點

從一個焦點到兩個

上一篇裡，拋物線是由一個特別的點——它的焦點——與一條線（準線）相互制衡而建成的。那份制衡造出一條朝一個方向永遠張開的曲線。現在我們做一個微小卻有力的改變：不用一個焦點配一條線，而是取兩個焦點，兩個固定點 F_1 與 F_2，並完全用一個動點 P 到這兩者的距離 |P F_1| 與 |P F_2| 來管控它。本篇的一切都從這個單一決定流出——兩個錨點，加上一條把兩段距離綁在一起的規則。

用一個常數把兩段距離綁在一起，有兩種誠實的方式，而每一種都給出不同的曲線。若我們要求和 |P F_1| + |P F_2| 保持定值，P 就描出一條橢圓——一個封閉的卵形圈。若我們改為要求差 | |P F_1| - |P F_2| | 保持定值，P 就描出一條雙曲線——一對向外飛離的開放分支。和對差：這就是全部的區別，也值得牢記，因為幾乎每個人一開始都會搞混哪個是哪個。

橢圓：固定的和，與園丁的繩子

橢圓的焦距定義說：橢圓是使得 |P F_1| + |P F_2| 等於某個固定常數（稱它為 2*a）的所有點 P 所成的集合，其中這常數比兩焦點之間的距離 |F_1 F_2| 還大。這條規則有一個美妙的物理模型。在板上 F_1 與 F_2 處各釘一根針，把一條長 2*a 的鬆弛繩子套在兩針上，用鉛筆尖拉緊它，再讓鉛筆繞行一整圈。拉緊的繩子迫使 |P F_1| + |P F_2| 在每一瞬間都等於繩長，於是鉛筆畫出一個完美的橢圓。園丁正是用這招——兩根樁加一條繩——來鋪設卵形的花圃。

把兩焦點對稱地放在 x 軸上的 (-c, 0) 與 (c, 0)，代數就變得乾淨。最左與最右的點，即頂點，落在 (-a, 0) 與 (a, 0)；它們之間的線段是長軸，長度為 2*a。最上與最下的點 (0, -b) 與 (0, b) 給出長度為 2*b 的短軸。在頂端頂點（那裡兩段焦距相等）對固定和規則做一道短短的計算，就得出橢圓最重要的單一關係式：a^2 = b^2 + c^2。標準方程式 x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 便由它落下。

ellipse, foci at (-c,0) and (c,0):

   |P F_1| + |P F_2| = 2a        (constant sum, 2a > 2c)
   a^2 = b^2 + c^2               (a = semi-major, b = semi-minor, c = focal half-distance)
   x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1         (standard equation, a > b)

   a circle is the special case c = 0, F_1 = F_2, a = b

橢圓的三項事實：固定和規則、a-b-c 關係式，以及它導出的方程式。

雙曲線：固定的差，與兩條分支

把和換成差，封閉的圈就爆裂張開。雙曲線是使得絕對差 | |P F_1| - |P F_2| | 等於某固定常數 2*a 的所有點 P 所成的集合，這次這常數比 |F_1 F_2| 還小。那個絕對值在真正做事：較靠近 F_1 的點滿足 |P F_1| - |P F_2| = -2*a，組成一條分支；較靠近 F_2 的點滿足 |P F_1| - |P F_2| = +2*a，組成另一條。所以雙曲線總是兩片，各自抱著一個焦點，隔著中點互為鏡像。頂點仍是曲線轉折之處，當兩焦點在 x 軸上的 (-c, 0) 與 (c, 0) 時，頂點落在 (-a, 0) 與 (a, 0)。

雙曲線帶有一個橢圓所缺的特徵：兩條它永遠逼近卻永不觸及的直線，即它的漸近線。遠離中心時，兩條分支會拉直，幾乎正好沿著 y = (b/a)*x 與 y = -(b/a)*x 這兩條線奔去，這裡 b 由 c^2 = a^2 + b^2 定義——注意符號相對於橢圓的 a^2 = b^2 + c^2 翻轉了，因為此處 c 是三者中最大的。標準方程式也翻轉一個符號：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1。那個減號，對比橢圓的加號，正是「以差代和」的代數印記。

焦點為何重要：反射與天空

焦點不是記帳用的點；它們有一段引人注目的光學生命，即圓錐曲線的反射性質。在橢圓裡，從一個焦點射出的一束光或聲音，碰到曲線反射後，會恰好通過另一個焦點——無論一開始朝哪個方向，每一條路徑皆然。這就是「耳語廊」奏效的原因：站在橢圓形房間的一個焦點上輕聲低語，在另一焦點的朋友能清楚聽見，而兩者之間的每個人卻什麼都聽不到。雙曲線則有鏡像版本：朝一個焦點射去的光線，碰到近側分支後彈開，彷彿它一直是從另一焦點直直射出的。

這也是圓錐曲線統御諸天的原因。在重力之下，一個繞著大天體運行的小天體，沿著一條圓錐曲線移動，而那個大質量坐落在「焦點」上——不是在中心。一顆受束縛的行星或彗星騎著橢圓，太陽在一個焦點；一顆只造訪一次便永遠離去、不受束縛的彗星則騎著雙曲線，太陽仍在一個焦點。你用一條繩子和一條規則建起的雙焦點幾何，正是克卜勒從夜空讀出的同一套幾何，而決定一條軌道是哪種圓錐曲線的，是離心率——下一篇要談的那個單一數字。

一個從頭到尾的算例

讓我們釘住一個具體的橢圓，把一切讀出來。設兩焦點在 (-3, 0) 與 (3, 0)，於是 c = 3，且固定和為 2*a = 10，故 a = 5。下面的步驟顯示：單憑焦點定義就能交給你完整的方程式、形狀與頂點——除了 a-b-c 關係式之外無需背任何公式，而那關係式本身也是從定義來的。

從焦點資料讀出常數：c = 3（兩焦點距離的一半）與 a = 5（固定和 2*a = 10 的一半）。檢查它是真橢圓：2*a = 10 大於 |F_1 F_2| = 6，所以繩子有鬆弛。沒問題。
由橢圓關係式 a^2 = b^2 + c^2 求 b：b^2 = 25 - 9 = 16，故 b = 4。
寫出標準方程式：x^2/25 + y^2/16 = 1。
定出特徵：長軸上的頂點在 (-5, 0) 與 (5, 0)，短軸端點在 (0, -4) 與 (0, 4)。
在一個頂點上驗算定義：從 (5, 0) 到兩焦點的距離為 |5 - (-3)| = 8 與 |5 - 3| = 2，且 8 + 2 = 10 = 2*a。固定和成立，正如設計。

對雙曲線跑同一台機器，唯一的改變是符號：焦點在 (-5, 0)、(5, 0)，固定差為 2*a = 6，你會得到 c = 5、a = 3，再算 b^2 = c^2 - a^2 = 25 - 9 = 16，給出 x^2/9 - y^2/16 = 1，以及漸近線 y = (4/3)*x 與 y = -(4/3)*x。同樣三步，和換成差、加換成減——兩條曲線之間的這份對稱，正是把它們放在一起認識所得的真正獎賞。