拋物線：焦點與準線

一個點、一條線，一道完美的平衡

在上一篇裡，你切開一個圓錐，看著拋物線作為那個特殊的切口落了出來——那是由一個傾斜得恰好與圓錐側面同斜率的平面所切出的。那幅圖像真實而優美，卻藏起了這條曲線最有用的祕密。還有第二種定義拋物線的方式，完全用不到圓錐——只需要平鋪在紙面上的一個點與一條線。關於這條曲線的其餘一切，都從它流淌而出。

固定一個點 F，稱它為焦點；再固定一條不通過 F 的線 d，稱它為準線。現在來玩一個遊戲：平面上有哪些點 P，到 F 的距離恰好等於它到線 d 的距離？到線的距離指的是垂直距離——直直橫越到 d 的最短一跳。要求 |PF| =（P 到 d 的距離），所有勝出的 P 所成的集合就是拋物線。這就是焦點–準線性質，它不是一個你拿來證明拋物線的事實；在本階裡，它就是拋物線的定義。

由於這條規則只談距離，拋物線是一個標準的軌跡——由每一個服從某個距離條件的點所描出的路徑，正如圓是與圓心保持定距的點的軌跡。圓是讓一個距離與一個常數平衡；拋物線則是讓一個距離與另一個距離平衡。就這麼換了一下對手，造就了全部的差異，把封閉的圓掰開成一條無盡綿延、向外舒展的曲線。

從平衡到方程式

現在把這幅圖落到座標上，看著定義化為代數。把焦點放在 y 軸上的 F = (0, p)，準線取為水平線 y = -p，在原點下方一步之遙，其中 p > 0。整個圖形如今對稱於 y 軸，這會讓計算保持乾淨。取曲線上任一點 P = (x, y)，寫下定義堅持必須相等的那兩個距離。

P 到焦點的距離就是普通的距離公式：|PF| = sqrt(x^2 + (y - p)^2)。P 直直往下到線 y = -p 的距離，不過是那段鉛直空隙 |y - (-p)| = |y + p|。令兩者相等，兩邊平方以消去根號，雜亂的 y^2 與 p^2 項在一個小小的奇蹟中相消，倖存下來的式子簡單得令人驚訝。你最後得到 x^2 = 4 p y，或解出 y，就是熟悉的 y = x^2 / (4p)。

Focus F = (0, p),   directrix  y = -p,   p > 0

   distance to focus      =      distance to directrix
  sqrt(x^2 + (y - p)^2)    =          | y + p |

square both sides:
    x^2 + y^2 - 2 p y + p^2  =  y^2 + 2 p y + p^2
    x^2                     =  4 p y
         =>     y = x^2 / (4 p)

等距條件平方一次後，塌縮成拋物線 y = x^2 / (4p)。

所以你在代數課裡隨手畫的那條拋物線——任何 y = a x^2 的圖形——一直都是一個焦點–準線軌跡。比對 a = 1 / (4p) 就能精確告訴你它隱藏的焦點落在何處：在頂點上方高度 p = 1 / (4a) 之處，準線則在下方等距的地方。一條寬而慵懶的拋物線，焦點離得遠；一條窄而陡峭的，則緊摟著焦點。單單一個數 p，也就是焦點到頂點的距離，掌控了整個形狀。

頂點、對稱軸，以及它開得多寬

每一條拋物線都有一個特殊的點，曲線在那裡掉頭，那就是頂點。在我們的設定裡它就是原點，而你能從定義看出原因：頂點是曲線上離準線最近的點，它必定恰好坐落在焦點與準線正中間。F = (0, p) 與線 y = -p 的正中間，就是 (0, 0)。過焦點與頂點的那條線——在這裡是 y 軸——就是對稱軸：沿它把紙摺起來，曲線的兩臂會完美地疊合在一起。

還有一個值得命名的量，因為它讓你一眼看出曲線在焦點附近有多寬。畫出過焦點、垂直於對稱軸的弦——也就是平行於準線的那條弦。它的長度叫做正焦弦（拉丁文意為「直邊」）。把 y = p 代入 x^2 = 4 p y，得到 x^2 = 4 p^2，於是 x = ±2p：這條弦從 (-2p, p) 延伸到 (2p, p)，總長 4p——恰好是焦點到頂點距離的四倍。正是這個乾淨的關係，使正焦弦成為測量師掌握拋物線時最愛的把手。

找出焦點與準線（或由 y = a x^2 經 p = 1 / (4a) 讀出 p）。
頂點是焦點與準線之間的中點；對稱軸是過焦點與頂點的那條線。
正焦弦長為 4p——在焦點兩側各取 2p 的點，便定下曲線的寬度。
畫出通過頂點與那兩個端點的平滑弧線，開口背離準線。

那面指向天空的鏡子

現在來談那個把這條曲線變成一件工程作品的性質。想像拋物線的內側鍍上銀、成為一面鏡子。一道平行於對稱軸射來的光——比方說從一顆恆星直直落下——打到曲線上並反射。反射性質說，每一道這樣的平行光，無論打在哪裡，反彈後都會通過那唯一的焦點 F。整片傾瀉而下的平行光被聚攏到一個明亮的點上。

把光反過來走，同一個事實便讀成一場廣播：放在焦點上的一盞燈，射出的光線經一次反彈後，全都平行於對稱軸前進——一束不發散的緊密光束。這正是衛星天線（把進來的訊號擠到焦點上的接收器）、汽車頭燈與手電筒（燈泡放在焦點，光束直直射向前方），以及反射式望遠鏡背後的工程原理。它是焦點–準線平衡所帶來最有利可圖的後果。

誠實的邊界與接下來的去向

幾個值得點名的陷阱。第一，拋物線不是任何橢圓的一半，也不是由兩段圓弧拼成的 U 形——它有自己的形狀，而破綻在於它永不閉合，雙臂永遠不斷變寬卻始終不會變得平行。第二，焦點在碗的內側，準線在外側，兩者都不在曲線上；若你發現 F 坐落在準線上，那你根本沒畫出拋物線，只畫了一條線而已。第三，我們公式裡的 p 指的是焦點到頂點的距離，那是焦點到準線距離的一半——不同課本對這個 2 的因子拆法不同，所以遇到方程式時務必查清它用的是哪一種。

退一步，留意我們所做之事的形狀。我們從不需要圓錐來定義拋物線——焦點與準線包辦了所有的工作——然而圓錐切面與焦點–準線曲線確實是同一個物件，這個事實由本階尾聲等著的旦德林球論證滴水不漏地坐實。把這兩幅圖像——平面切面與軌跡——並排放著，正是其餘圓錐曲線將要展開的方式。

下一篇沿用同一個軌跡的想法，卻在一個決定性的地方更動配方：不再是讓一個點與一條線平衡，而是讓一個點與另一個點平衡——一次有兩個焦點。把這兩個焦點擺在一起、再加上一個常數，橢圓與雙曲線便應運而生，它們是拋物線的近親。屆時你會看到，拋物線正是那個微妙的居間情形——兩個焦點之一已漂到無窮遠處。