一個立體，四種曲線
到現在，你已能把任何圖形放上笛卡兒平面、讀出它的斜率，並把一條直線或一個圓寫成方程式。圓是第一條方程式真正屬於二次的曲線，(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2——而事實證明，圓還有三個近親，全都由二次方程式所主宰。這四條曲線合稱圓錐曲線，本段就是它們的故事。這個名字本身是一個承諾：當你用一個平面切開圓錐時，它們每一個都會現身。
想像一個甜筒，但加倍：兩個圓錐尖頂對尖頂，共用同一個頂點、朝相反方向張開，向上向下都無限延伸。這個雙圓錐就是我們要切的曲面。現在拿一個無限大的平面，以不同的傾角穿過這個圓錐。當平面的角度改變，它切過圓錐所成的曲線——也就是平面截痕——性質隨之改變，四種不同的形狀於是浮現。整個家族的生成，靠的不過是一個固定的圓錐與一個旋轉的平面。
看著平面傾斜
先讓平面保持水平，垂直於圓錐的軸。它在一個錐瓣（雙圓錐的一半）上切出一個完美的圓——每個點到軸的距離都相同。現在把平面稍微傾斜。閉合的環就被拉成一個橢圓，一個仍會自我閉合、一個方向比另一個方向長的橢圓形。繼續傾斜，這個橢圓形越來越偏，但只要平面比圓錐的側面還不陡，它總會繞回來自我閉合。
接著來到那個刀鋒般的瞬間。把平面傾斜到恰好平行於圓錐表面上的一條直線（圓錐的一條「母線」）。此時截痕再也無法閉合——它沿著那一個方向奔向無窮，成為一條只有單一分支的開放曲線。這就是拋物線。它正是閉合橢圓與接下來那位之間精確的分界線，是那個唯一特殊的傾角：曲線永遠瀕臨逃逸，卻從不折返。
傾斜超過那個臨界角——比圓錐的側面還陡——某種新事物便發生了：平面此時同時切到雙圓錐的兩個錐瓣，頂點之上切一次、之下切一次。截痕分裂成兩條分離的開放分支，互為鏡像、背向而立。這就是雙曲線。所以這四種形狀不是一座隨意的動物園；它們是依單一個數——平面的陡度——排定次序的序列，而拋物線就把守在邊界上。
plane tilt vs. cone's side section -------------------------------- ----------- perpendicular to axis circle less steep than the cone's side ellipse exactly parallel to a generator parabola <- the borderline steeper than the cone's side hyperbola (cuts both nappes)
平面居民的定義：焦點與準線
圓錐的圖像很美，但它住在三維裡，而我們想研究的曲線住在平坦的平面上。我們需要一個定義，是平面上的居民不必離開平面就能陳述並使用的——一個以軌跡形式給出的定義，也就是一群遵守某條距離規則的點。回想圓是怎麼定義的：到某一個圓心距離固定的所有點。圓錐曲線恰恰把這個想法推廣，方法是比較距離，而不是只固定一個距離。
固定一個點，稱為焦點，以及一條線，稱為準線。對平面上一點 P，量兩段距離：它到焦點的距離，以及它到準線的垂直距離。焦點—準線性質說，圓錐曲線就是使這兩段距離的比值為某固定常數的所有 P 所成的集合。那個常數就是離心率，記作 e。一個焦點、一條線、一個比值——僅憑這一條規則，整個家族傾瀉而出：只要改變 e 的值，你就依序走過橢圓、拋物線與雙曲線。
用一行話點出核心：當 e = 1 時，到焦點的距離等於到準線的距離，曲線是拋物線。當 e < 1（點比起準線，更緊貼著焦點）時，曲線閉合成橢圓。當 e > 1 時，曲線張開成雙曲線。於是圓錐那個神祕的分界傾角，在這裡以乾淨的數字 e = 1 重新登場。單單一個旋鈕就把三者分門別類，正是本段第四篇以之命名的妙處所在——但你現在已經能感覺到它的去向了。
為何截痕與比值一致：旦德林的球
心存懷疑是合理的。為什麼一條由三維中切割圓錐所刻出的曲線，會在二維裡服從一條乾淨的距離比規則？這兩個故事聽起來毫不相干。然而它們描述的卻是同一批曲線，而連接兩者的橋樑，是整個幾何學中最令人滿意的論證之一：旦德林球。完整的論證是本段第五篇的高潮，所以這裡我們只誠實地勾勒構想，不假裝這幅圖能自己證明自己。
訣竅是把球塞進圓錐裡，讓每個球沿一整圈圓周貼著圓錐，並恰好在單一點輕觸切割平面。對橢圓而言，剛好塞得下兩個這樣的球——一個在截痕之上、一個在之下——而它們觸碰平面的那兩點，結果恰恰就是橢圓的兩個焦點。球一就位，一串「自外一點到球的切線等長」的事實便把三維的切割轉換成平坦的距離規則，毫無含糊。這些球，正是圓錐與軌跡之間那個失落的握手。
全部，收進一條方程式
還有第三副眼鏡，而它最具代數味。回到座標平面上，直線是一次的（A*x + B*y + C = 0），圓是一種特殊的二次曲線。如果你寫下兩變數中最一般的二次方程式，你得到一般二次方程式：A*x^2 + B*x*y + C*y^2 + D*x + E*y + F = 0。一個了不起的事實——第五篇會把它說精確——是它的圖形永遠是一條圓錐曲線：圓、橢圓、拋物線、雙曲線，或少數幾種被壓扁的「退化」情形之一。不會有別的東西出現。
更妙的是，你甚至不必畫圖，僅憑平方項與交叉項的係數，就能讀出你手上是哪一種圓錐曲線。量 B^2 - 4*A*C，即判別式，將它們分類：為負代表橢圓（或圓），為零代表拋物線，為正代表雙曲線。注意這個模式如何在三副眼鏡裡迴響——單一個正負號或單一個數，e 對 1、判別式對 0，決定著相同的三種結局。圓錐曲線一再以三種不同的語言，訴說同一個故事。