坐標環：你真能寫下來的函數
本級第一篇把仿射變簇建造成 A^n 中帶扎里斯基拓樸的零點集，第二篇則封定了零點定理這部字典：代數那邊的根理想恰好對應幾何那邊的閉集。那部字典講的是子集。現在我們問一個更尖銳的問題——變簇 V 上的函數是什麼？代數幾何誠實的回答是：我們唯一信任的函數，就是能寫成多項式的那些。把 k[x_1, ..., x_n] 中每個多項式限制到 V 上，當兩個多項式在 V 的每一點都相等時就宣告它們相同，存活下來的就是 V 的坐標環。
說精確一點，坐標環就是商環 k[V] = k[x_1, ..., x_n] / I(V)，其中 I(V) 是所有在 V 上為零的多項式構成的理想——正是第二篇反覆強調其根性的那個理想。除掉 I(V)，恰恰就是遺忘兩個在 V 上相等的多項式之間的差別這件事。因為 V 是變簇，它不可約，所以 I(V) 是質理想，於是 k[V] 是個整環：沒有零因子，這正是日後能讓我們作除法的關鍵。具體地說，k[V] 的一個元素就是一個多項式形狀的函數 f: V -> k，你應當永遠先把它想成函數，其次才是陪集。
V = { x*y = 1 } in A^2 (a hyperbola)
k[V] = k[x, y] / (x*y - 1)
In k[V] the relation x*y = 1 holds, so y = 1/x.
Hence k[V] = k[x, 1/x] = k[x, x^{-1}] (Laurent polynomials).
The function 'y' became the genuine inverse of 'x'.態射恰好就是反向的環映射
仿射變簇的態射 phi: V -> W 是一個由多項式給出的映射：在坐標下 phi(p) = (g_1(p), ..., g_m(p))，其中每個 g_i 屬於 k[V]。重點不在公式，而在它對函數做了什麼。目標 W 上任一函數 h 都可藉由複合拉回成源 V 上的函數：h 與 phi 複合。既然 h 是多項式、phi 是多項式，複合也是多項式——所以拉回把 k[W] 送進 k[V]。這個拉回記為 phi*，是個 k-代數同態，而它由 W 的環走向 V 的環：箭頭翻轉了。
奇蹟在於這過程毫無損失：每個 k-代數同態 k[W] -> k[V] 都來自某個唯一的態射 phi: V -> W，作為它的 phi*。所以研究變簇間的映射，字面上就等同於研究其坐標環間的映射，只是所有箭頭反向。這正是註記所允諾的反變等價，也正是它使正則函數成為對的概念：一個態射 V -> A^1 就等同於 k[V] 的一個元素，因為 k-代數映射 k[x] -> k[V] 完全由 x 被送往何處所決定。V 上的函數就是往仿射直線的映射。
一個乾淨的例子：參數化的三次曲線 t -> (t^2, t^3) 是個態射 A^1 -> V，其中 V = { y^2 = x^3 } 是尖點三次曲線。它的拉回把 x -> t^2、y -> t^3，將 k[V] = k[x,y]/(y^2 - x^3) 嵌入 k[t]。這映射在點上是雙射，卻不是同構，因為像漏掉了 t 本身——環 k[t^2, t^3] 是 k[t] 的真子環。原點處的尖點，恰恰就是那缺失生成元的代數指紋。我們將在第四篇遇到奇點時精確命名這個缺陷。
函數體：讓你能作除法
多項式誠實卻吝嗇：它們處處有定義，數量卻遠遠太少。在仿射直線 A^1 上，唯一的正則函數就是一元多項式——你連 1/x 都寫不出來，因為它在 0 處炸開。為了換取表達力，我們付出代價：允許 k[V] 中元素的比值 f/g，並接受這種函數在分母 g 為零之處無定義。因為 k[V] 是整環，這些比值構成一個體，即函數體 k(V)，它是 k[V] 的分式體。
k(V) 的一個元素是個有理函數：一個分式 f/g，它只在 g 不為零的開集上才真是個函數。兩個分式相等，就是當它們在該處一致，與初等分數一模一樣。微妙而優美的事實是：同一個有理函數可以有好幾種分式表示，而某個表示可能在另一個無定義的點上反而有定義。所以有理函數的定義域，是它所有表示之聯集——能補救它的最大開集。若某個表示 f/g 滿足 g(p) 不為零，我們就稱該有理函數在 p 處正則。
把這一點在圓 V = { x^2 + y^2 = 1 } 上看得活生生。分式 f = (1 - y)/x 在 x = 0 之處看似無定義。但 V 上成立關係 x^2 = 1 - y^2 = (1 - y)(1 + y)，這讓我們把 (1 - y)/x 改寫成 x/(1 + y)——k(V) 中同一個元素。第二種形式在 (0, 1) 處完全正則，正是第一種炸開之處，而第一種在 (0, -1)（第二種此刻失效之點）處安然無恙。在這兩種表示之間，真正落在定義域外的只有 (0, -1) 一點——從看似缺失一整條線，補救成單獨一個壞點。
有理函數正則的點集恆為開且非空，而一個在 V 每一點都正則的函數，結果恰好又是 k[V] 的元素——前提是 V 為正規，這條假設略去是不誠實的。在光滑仿射變簇上口號乾淨成立：處處正則等於多項式。函數體 k(V) 本身是附在 V 上的單一不變量，而值得注意的是它只依賴於 V 的某個稠密開塊，而非整體——這正是通往下一個概念的門。
有理映射、優勢性與雙有理等價
如果有理函數是一個允許跳過壞點的分式，那麼有理映射 phi: V ⇢ W 就是同一構想配上一組分式：它是個僅定義在 V 的某稠密開子集 U 上的態射，兩個這樣的映射若在重疊處一致便算相等。虛線箭頭 ⇢ 是標準警示，表明 phi 並非處處有定義。phi 確實有定義之處我們稱為它的定義域，它觸及不到的點則是它的不確定軌跡——一個維數較低的閉集，絕不會是整個變簇。
你不能隨意複合有理映射——phi 的像可能整個落進下一個映射的壞集裡。補救之道是優勢映射的概念：優勢有理映射是指像在 W 中稠密的映射。只有優勢映射能安全地複合，也只有優勢映射能拉回函數：一個優勢的 phi: V ⇢ W 誘導出體同態 phi*: k(W) -> k(V)，反之每個函數體之間的 k-代數映射都來自唯一的優勢有理映射。反變字典在升到體的層次後依然存活，現在是體之間而非環之間。
現在收成。雙有理映射是一個帶有有理逆的有理映射 phi: V ⇢ W——依字典，等價地說，就是函數體 k(V) 與 k(W) 的一個同構。當這樣的映射存在時，兩個變簇便雙有理等價，這意味著它們共享一個共同的稠密開子集：在維數較低的閉塊之外，它們是同一個變簇。這比同構弱得多，又比毫無關係強得多，是古典代數幾何的中心等價關係。第四篇的爆破恰恰是雙有理手術：在重塑奇異軌跡的同時，讓 k(V) 絲毫不變。
範例詳解：圓是有理的
一口氣感受這四個概念最乾淨的方式，是證明圓 V = { x^2 + y^2 = 1 } 與直線 A^1 雙有理等價。其構造就是你或許在草圖中見過的球極投影：固定北極 N = (0, 1)，對圓上任一點 p，指派過 N 與 p 的直線與 x 軸相交之處。這是個雙向皆有理的映射，是函數體的同構，並產生出圓著名的有理參數化——正是生成畢氏三元數的那組公式。
- 由圓到直線：把 V 上的 p = (x, y) 送到 t = x / (1 - y)，即直線 N-p 的 x 截距。這是 V 上的有理函數，除了北極 N = (0, 1)（該處 1 - y = 0）外處處正則。
- 由直線到圓：把 t 送到 ( 2t/(t^2 + 1), (t^2 - 1)/(t^2 + 1) )。每個坐標都是 t 的有理函數，在 A^1 上處處正則，因為 t^2 + 1 在 -1 非平方的體上永不為零；在代數封閉體上它跳過 t = ±i 這兩點。
- 驗證兩者互逆：把參數化代入 x/(1-y) 並化簡，得到 (2t/(t^2+1)) / (1 - (t^2-1)/(t^2+1)) = (2t/(t^2+1)) / (2/(t^2+1)) = t。在兩者皆有定義之處，複合即是恆等映射。
- 讀出結論：這兩個映射給出同構 k(V) ≅ k(t)，故圓與 A^1 雙有理等價——它是條有理曲線。一邊單獨的壞點 N、另一邊的一對 t = ±i，恰恰正是雙有理映射獲准忽略的那些低維軌跡。